Why square (= 4-angle)? See below magic 3-, 5-, 6- and 7-angles.

 

 

Magic 3-angle (1)

 

 

 

Magic 3-angle (2)

 

 

 

Magic 5-angle

 

 

 

Magic 6-angle (1)

 

 

 

Magic 6-angle (2)

 

 

 

Magic 7-angle

  

 

 

Source:  J. R. Hendricks, The Magic Square Course, self-published 1991, pp.1-4