Symmetrische transformatie

Paulus Gerdes introduceerde het Liki magisch vierkant (zie http://plus.maths.org/content/ new-designs-africa). Hij toonde dat het mogelijk is om een vierkant met opeenvolgende getallen te transformeren in een magisch vierkant door de helft van de getallen via een symmetrisch patroon om te wisselen. Deze methode werkt voor magische vierkanten die een veelvoud van 4 zijn (4x4, 8x8, 12x12, 16x16, ...).

Paulus Gerdes maakte het volgende symmetrische 8x8 magisch vierkant:

8x8 vierkant met opeenvolgende getallen

		232	240	248	256	264	272	280	288
	260									260
36		1	2	3	4	5	6	7	8
100		9	10	11	12	13	14	15	16
164		17	18	19	20	21	22	23	24
228		25	26	27	28	29	30	31	32
292		33	34	35	36	37	38	39	40
356		41	42	43	44	45	46	47	48
420		49	50	51	52	53	54	55	56
484		57	58	59	60	61	62	63	64

Als je de helft van de getallen systematisch vervangt door het inverse getal (= hoogste + laagste getal -/- het getal zelf; bijvoorbeeld de inverse van 29 is 64 + 1 -/- 29 = 36)

Symmetrisch 8x8 magisch viekant

		260	260	260	260	260	260	260	260
	260									260
260		1	63	3	61	60	6	58	8
260		56	55	11	12	13	14	50	49
260		17	18	46	45	44	43	23	24
260		40	26	38	28	29	35	31	33
260		32	34	30	36	37	27	39	25
260		41	42	22	21	20	19	47	48
260		16	15	51	52	53	54	10	9
260		57	7	59	5	4	62	2	64

Door de structuur van Paulus' 8x8 te gebruiken en door te puzzelen, heb ik een symmetrisch 12x12 magisch vierkant gemaakt:

12x12 vierkant met opeenvolgende getallen

		804	816	828	840	852	864	876	888	900	912	924	936
	870													870
78		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
222		13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
366		25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36
510		37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48
654		49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
798		61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72
942		73	74	75	76	77	78	79	80	81	82	83	84
1086		85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96
1230		97	98	99	100	101	102	103	104	105	106	107	108
1374		109	110	111	112	113	114	115	116	117	118	119	120
1518		121	122	123	124	125	126	127	128	129	130	131	132
1662		133	134	135	136	137	138	139	140	141	142	143	144

Symmetrisch 12x12 magisch vierkant

		870	870	870	870	870	870	870	870	870	870	870	870
	870													870
870		1	143	3	141	5	139	138	8	136	10	134	12
870		132	131	15	129	17	18	19	20	124	22	122	121
870		25	26	27	117	116	115	114	113	112	34	35	36
870		108	107	106	40	41	42	43	44	45	99	98	97
870		49	50	94	52	92	91	90	89	57	87	59	60
870		84	62	82	64	80	66	67	77	69	75	71	73
870		72	74	70	76	68	78	79	65	81	63	83	61
870		85	86	58	88	56	55	54	53	93	51	95	96
870		48	47	46	100	101	102	103	104	105	39	38	37
870		109	110	111	33	32	31	30	29	28	118	119	120
870		24	23	123	21	125	126	127	128	16	130	14	13
870		133	11	135	9	137	7	6	140	4	142	2	144

Je kunt elk magisch vierkant dat een veelvoud van 4 is in (1x1, 2x2 3x3, 4x4, ...) 4x4 sub-vierkanten splitsen. Als je dezelfde symmetrische omwisseling van getallen in elk 4x4 sub-vierkant toepast, dan kun je een speciaal symmetrisch magisch vierkant maken; zie bijvoorbeeld onderstaand 12x12 magisch vierkant:

				76	80	84	88	92	96	100	104	108	112	116	120
				268	272	276	280	284	288	292	296	300	304	308	312
				460	464	468	472	476	480	484	488	492	496	500	504
			870													870
10	26	42		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
58	74	90		13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
106	122	138		25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36
154	170	186		37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48
202	218	234		49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
250	266	282		61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72
298	314	330		73	74	75	76	77	78	79	80	81	82	83	84
346	362	378		85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96
394	410	426		97	98	99	100	101	102	103	104	105	106	107	108
442	458	474		109	110	111	112	113	114	115	116	117	118	119	120
490	506	522		121	122	123	124	125	126	127	128	129	130	131	132
538	554	570		133	134	135	136	137	138	139	140	141	142	143	144

				290	290	290	290	290	290	290	290	290	290	290	290
				290	290	290	290	290	290	290	290	290	290	290	290
				290	290	290	290	290	290	290	290	290	290	290	290
			870													870
290	290	290		1	143	142	4	5	139	138	8	9	135	134	12
290	290	290		132	14	15	129	128	18	19	125	124	22	23	121
290	290	290		120	26	27	117	116	30	31	113	112	34	35	109
290	290	290		37	107	106	40	41	103	102	44	45	99	98	48
290	290	290		49	95	94	52	53	91	90	56	57	87	86	60
290	290	290		84	62	63	81	80	66	67	77	76	70	71	73
290	290	290		72	74	75	69	68	78	79	65	64	82	83	61
290	290	290		85	59	58	88	89	55	54	92	93	51	50	96
290	290	290		97	47	46	100	101	43	42	104	105	39	38	108
290	290	290		36	110	111	33	32	114	115	29	28	118	119	25
290	290	290		24	122	123	21	20	126	127	17	16	130	131	13
290	290	290		133	11	10	136	137	7	6	140	141	3	2	144

Het magisch vierkant is niet alleen symmetrisch, maar elke 1/3 rij en elke 1/3 kolom levert 1/3 van de magische som op.

Als je de startpositie van het 12x12 vierkant met opeenvolgende getallen wijzigt, dan is het zelfs mogelijk om een (bijna) ultra magisch 12x12 vierkant te maken:

				56	60	76	72	88	92	108	104	120	124	140	136
				248	252	268	264	280	284	300	296	312	316	332	328
				440	444	460	456	472	476	492	488	504	508	524	520
			870													870
14	46	78		1	2	6	5	9	10	14	13	17	18	22	21
22	54	86		3	4	8	7	11	12	16	15	19	20	24	23		870	870
118	150	182		27	28	32	31	35	36	40	39	43	44	48	47		870	870
110	142	174		25	26	30	29	33	34	38	37	41	42	46	45		870	870
206	238	270		49	50	54	53	57	58	62	61	65	66	70	69		870	870
214	246	278		51	52	56	55	59	60	64	63	67	68	72	71		870	870
310	342	374		75	76	80	79	83	84	88	87	91	92	96	95		870	870
302	334	366		73	74	78	77	81	82	86	85	89	90	94	93		870	870
398	430	462		97	98	102	101	105	106	110	109	113	114	118	117		870	870
406	438	470		99	100	104	103	107	108	112	111	115	116	120	119		870	870
502	534	566		123	124	128	127	131	132	136	135	139	140	144	143		870	870
494	526	558		121	122	126	125	129	130	134	133	137	138	142	141		870	870


				290	290	290	290	290	290	290	290	290	290	290	290
				290	290	290	290	290	290	290	290	290	290	290	290
				290	290	290	290	290	290	290	290	290	290	290	290
			870													870
290	290	290		1	143	6	140	9	135	14	132	17	127	22	124
290	290	290		142	4	137	7	134	12	129	15	126	20	121	23		870	870
290	290	290		27	117	32	114	35	109	40	106	43	101	48	98		870	870
290	290	290		120	26	115	29	112	34	107	37	104	42	99	45		870	870
290	290	290		49	95	54	92	57	87	62	84	65	79	70	76		870	870
290	290	290		94	52	89	55	86	60	81	63	78	68	73	71		870	870
290	290	290		75	69	80	66	83	61	88	58	91	53	96	50		870	870
290	290	290		72	74	67	77	64	82	59	85	56	90	51	93		870	870
290	290	290		97	47	102	44	105	39	110	36	113	31	118	28		870	870
290	290	290		46	100	41	103	38	108	33	111	30	116	25	119		870	870
290	290	290		123	21	128	18	131	13	136	10	139	5	144	2		870	870
290	290	290		24	122	19	125	16	130	11	133	8	138	3	141		870	870

Dit (bijna) ultra magische 12x12 vierkant is panmagisch, 2x2 compact, kloppend voor 1/3 rijen/kolommen, maar is niet symmetrisch.

Deze methode werkt voor grootte (orde) is veelvoud van 4 vanaf 4x4 tot oneindig. Zie uitgewerkt voor 4x4, 8x8, 12x12, 16x16, 20x20, 24x24, 28x28, 32x32

12x12, Symmetrische transformatie (Liki)

Microsoft Excel werkblad 113.0 KB

Download

12x12 magisch vierkant