Wat is een 3x3 magisch vierkant?

Het 3x3 magisch vierkant is vierkant, omdat het uit evenveel rijen (van links naar rechts = horizontaal) als kolommen (van boven naar beneden = verticaal) bestaat. Het 3x3 magische vierkant bestaat uit 3 rijen maal 3 kolommen is 9 vakjes.

 

In het 3x3 magisch vierkant staan 9 verschillende (gehele) getallen. In een zuiver 3x3 magisch vierkant staan in de 9 vakjes de getallen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9.

 

Het magische vierkant is magisch, omdat de som (= optelling) van de getallen van elke rij, elke kolom en de beide diagonalen (= van linksboven schuin naar rechtsonder of van rechtsboven schuin naar linksonder) hetzelfde getal oplevert. Je kunt de magische som van het zuivere 3x3 vierkant uitrekenen door de grootte van het (oneven) vierkant met het middelste getal te vermenigvuldigen: 3 x 5 = 15.

 

Wat is het geheim van het 3x3 magisch vierkant?

Het geheim achter het 3x3 magisch vierkant is eigenlijk heel simpel. Als je uit de getallen 1 t/m 9 telkens 3 (verschillende) getallen moet kiezen die opgeteld 15 opleveren, dan heb je de volgende mogelijkheden:

 

1+5+9

1+6+8

2+4+9

2+5+8

2+6+7

3+4+8

3+5+7

4+5+6.

 

Dat zijn 8 mogelijkheden.

 

Het 3x3 magisch vierkant moet voor 3 rijen plus 3 kolommen plus 2 diagonalen is 8 eigenschappen kloppen. Omdat er 8 mogelijkheden en 8 eigenschappen zijn is er eigenlijk maar één oplossing voor het 3x3 magisch vierkant.

 

Als je telt hoeveel keer de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9 in de 8 mogelijkheden voorkomen, dan krijg je de volgende uitkomst:

 

1 =  2x

2 =  3x

3 =  2x

4 =  3x

5 =  4x

6 =  3x

7 =  2x

8 =  3x

9 =  2x

 

Het middelste vakje maakt deel uit van de middelste rij, de middelste kolom en de twee diagonalen, dus van 4 eigenschappen. Daarom moet de 5 altijd in het midden staan. De hoekpunten maken deel uit van één rij, één kolom en één diagonaal, dus van 3 eigenschappen. Daarom moeten de 2, 4, 6 en 8 (= even getallen) altijd in de hoeken staan. De 1, 3, 7 en 9 komen dan in de overige vakjes (de middens van de zijden). Omdat de 5 in het midden staat blijft er voor de twee overgebleven vakjes in de twee diagonalen (15 - 5 = ) 10 over. Tien kan met de even getallen in de hoeken alleen gevormd worden door 2 en 8 of 4 en 6 bij elkaar op te tellen. Daarom moeten 2 en 8 en 4 en 6 altijd in dezelfde diagonaal, dus schuin tegenover elkaar in de hoeken staan.

 

Zoals gezegd is er eigenlijk maar één oplossing voor het 3x3 vierkant en wel exclusief draaiingen en/of spiegelingen (zie uitgelegd bij panmagisch 4x4 vierkant). Inclusief draaiingen en/of spiegelingen zijn er (1 x 8 = ) 8 oplossingen voor het 3x3 vierkant.