Uitleg over het 4x4 (pan)magisch vierkant
Welke 4x4 magische vierkanten zijn er?
Exclusief draaien en/of spiegelen zijn er 880 verschillende zuiver magische 4x4 vierkanten. Op de website van Harvey Heinz (http://www.magic-squares.net/order4list.htm) worden de zuiver magische 4x4 vierkanten onderverdeeld in 12 groepen, waarbij de magische
vierkanten binnen dezelfde groep allemaal dezelfde structuur hebben.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
De lijnen verbinden de getallen 1-16, 2-15, 3-14, 4-13, 5-12, 6-11, 7-10 en 8-9
(N.B.: 1+16 = 2+15 = 3+14 = 4+13 = 5+12 = 6+11 =7+10 = 8+9 = 17, ofwel de helft van de magische som van 34).
Wat is een 4x4 magisch vierkant?
Het 4x4 magisch vierkant is vierkant, omdat het uit evenveel rijen (van links naar rechts = horizontaal) als kolommen (van boven naar beneden = verticaal) bestaat.
Het 4x4 magische vierkant bestaat uit 4 rijen maal 4 kolommen is 16 vakjes.
In het 4x4 magische vierkant staan 16 verschillende (gehele) getallen. In een zuiver 4x4 magisch vierkant staan de getallen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 en 16.
Het 4x4 magische vierkant is magisch, omdat de som (= optelling) van de getallen van elke rij, elke kolom en de beide diagonalen (= van linksboven schuin naar rechtsonder of van rechtsboven schuin naar linksonder) hetzelfde getal oplevert. Je kunt de magische som van het zuiver magische 4x4 vierkant uitrekenen door de [even] grootte van het vierkant te delen door twee en te vermenigvuldigen met de som van het laagste plus het hoogste getal: 4 / 2 x (1+16) = ) 34.
Wat is een 4x4 panmagisch vierkant?
Het 4x4 magisch vierkant moet minimaal kloppen voor de rij-, kolom- en diagonaal-eigenschappen. Het 4x4 panmagisch vierkant heeft echter extra magische eigen-schappen.
De extra eigenschappen van het 4x4 panmagisch vierkant zijn:
- elk gekozen 2x2 vierkantje binnen het 4x4 vierkant levert de magische som van 34 op;
- je kunt een tapijt van het 4x4 vierkant maken door minimaal 4x het vierkant te nemen en deze 2x2 naast en onder elkaar te leggen; elk binnen het tapijt gekozen 4x4 vierkant is panmagisch.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Elk 4x4 vierkant op het tapijt is kloppend, omdat op het tapijt de diagonalen doorlopen, waarbij 4 getallen op een rij opgeteld altijd de magische som van 34 oplevert.
(pan)diagonalen van links naar rechts (pan)diagonalen van rechts naar links
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Binnen een vierkant levert de optelling van 4 getallen van zowel de gewone als de gebroken (= pan)diagonalen de magische som van 34 op:
|
1 |
8 |
13 |
12 |
|
|
1 |
8 |
13 |
12 |
|
15 |
10 |
3 |
6 |
|
|
15 |
10 |
3 |
6 |
|
4 |
5 |
16 |
9 |
|
|
4 |
5 |
16 |
9 |
|
14 |
11 |
2 |
7 |
|
|
14 |
11 |
2 |
7 |
Wat is het geheim achter het panmagisch 4x4 vierkant?
Hoe krijg je telkens een zelfde (magische) som? Door het laagste getal en het hoogste getal, het op-één-na laagste getal en het op-één-na hoogste getal, het op-twee-na laagste getal en het op-twee-na hoogste getal, … enzovoorts bij elkaar op te tellen. Als je de getallen van het 4x4 vierkant splitst in 1 t/m 8 en 9 t/m 16, dan krijg je:
1+8 = 2+7 = 3+6 = 4+5 = 9 én 9+16 = 10+15 = 11+14 = 12+13 = 25
Zie onder het panmagisch 4x4 vierkant.
|
1 |
8 |
13 |
12 |
|
15 |
10 |
3 |
6 |
|
4 |
5 |
16 |
9 |
|
14 |
11 |
2 |
7 |
Elk rij bestaat uit 9 + 25 = de magische som van 34.
|
1 |
8 |
13 |
12 |
|
15 |
10 |
3 |
6 |
|
4 |
5 |
16 |
9 |
|
14 |
11 |
2 |
7 |
Elke kolom bestaat uit 16 + 18 = 34
N.B.: Het is mogelijk om rij 1&3 en/of rij 2&4 en/of kolom 1&3 en/of kolom 2&4 te verwisselen en er ontstaat een nieuw panmagisch 4x4 vierkant!!!
Het vierkant is panmagisch door de volgende structuur (geldt voor alle meest perfecte magische vierkanten, die qua grootte een veelvoud van vier zijn; dus 4x4, 8x8, 12x12, … en opgebouwd zijn uit evenredige 4x4 deelvierkanten):
|
1 |
8 |
13 |
12 |
|
15 |
10 |
3 |
6 |
|
4 |
5 |
16 |
9 |
|
14 |
11 |
2 |
7 |
Twee getallen van dezelfde kleur zijn bij elkaar opgeteld telkens het laagste plus het hoogste getal van het magische vierkant, ofwel (1 + 16 = ) 17, ofwel de helft van de magische som. Met telkens twee kleuren kun je de (pan)diagonalen van links naar rechts en de (pan)diagonalen van rechts naar links vormen (2 x 17 = 34, ofwel de magische som):
|
1 |
8 |
13 |
12 |
|
|
1 |
8 |
13 |
12 |
|
|
1 |
8 |
13 |
12 |
|
|
1 |
8 |
13 |
12 |
|
15 |
10 |
3 |
6 |
|
|
15 |
10 |
3 |
6 |
|
|
15 |
10 |
3 |
6 |
|
|
15 |
10 |
3 |
6 |
|
4 |
5 |
16 |
9 |
|
|
4 |
5 |
16 |
9 |
|
|
4 |
5 |
16 |
9 |
|
|
4 |
5 |
16 |
9 |
|
14 |
11 |
2 |
7 |
|
|
14 |
11 |
2 |
7 |
|
|
14 |
11 |
2 |
7 |
|
|
14 |
11 |
2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
8 |
13 |
12 |
|
|
1 |
8 |
13 |
12 |
|
|
1 |
8 |
13 |
12 |
|
|
1 |
8 |
13 |
12 |
|
15 |
10 |
3 |
6 |
|
|
15 |
10 |
3 |
6 |
|
|
15 |
10 |
3 |
6 |
|
|
15 |
10 |
3 |
6 |
|
4 |
5 |
16 |
9 |
|
|
4 |
5 |
16 |
9 |
|
|
4 |
5 |
16 |
9 |
|
|
4 |
5 |
16 |
9 |
|
14 |
11 |
2 |
7 |
|
|
14 |
11 |
2 |
7 |
|
|
14 |
11 |
2 |
7 |
|
|
14 |
11 |
2 |
7 |
Wat is een handig trucje om een 4x4 panmagisch vierkant te maken?
Je kunt een panmagisch 4x4 vierkant in 3 stappen maken:
Plaats 1, 2, 3 and
4 Koppel
5, 6, 7 en 8 2x zelfde kleur=17
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
8 |
|
|
1 |
8 |
|
|
|
|
1 |
8 |
13 |
12 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
7 |
|
|
|
|
2 |
7 |
|
|
14 |
11 |
2 |
7 |
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
6 |
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
4 |
5 |
16 |
9 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
3 |
6 |
|
|
15 |
10 |
3 |
6 |