Kwadrantmethode, groep 11 t/m 19

Algemene toelichting groep 11-19

De groepen vierkanten 10 – 18 zijn opgebouwd uit twee 8x8 basispatronen waarvan de ene bestaat uit H-en/of K-kwadranten (2 maal 8 getallen), en de andere uit A-,B- en C-kwadranten (4 maal 4 getallen). De helft van de homogene 8x8 H-basispatronen (dwz volledig bestaand uit H-kwadranten) heeft de mogelijkheid voor bijpassende homogene A- en C-basispatronen, de andere helft de mogelijkheid voor bijpassende gemengde AC-basispatronen. Analoog geldt voor homogene 8x8 K-basispatronen dat zij (ook fifty-fifty) óf de mogelijkheid hebben voor bijpassende homogene B- en C-basispatronen, óf de mogelijkheid voor bijpassende gemengde BC-basispatronen. Voor gemengde 8x8 HK- of KH-basispatronen geldt iets vergelijkbaars: Zij hebben (ook weer fifty-fifty) óf de mogelijkheid voor passende gemengde AC- en BC-basispatronen, óf de mogelijkheid voor passende ACC*B- of CABC*-basispatronen.

Toelichting groep 11

De magische vierkanten van groep 11 worden gemaakt door de basis kwadrant patronen H te combineren met de basis kwadrant patronen A.

In onderstaand voorbeeld is als rijpatroon gekozen voor H4 in alle vier de kwadranten.

H4 (rijpatroon)

0	5	2	7	0	5	2	7
6	3	4	1	6	3	4	1
5	0	7	2	5	0	7	2
3	6	1	4	3	6	1	4
0	5	2	7	0	5	2	7
6	3	4	1	6	3	4	1
5	0	7	2	5	0	7	2
3	6	1	4	3	6	1	4

Nu maken we het 8x8 patroon voor de kolomcoördinaten. Plaats basis kwadrant patroon A1, A2, of A3 in de linker bovenhoek. In het voorbeeld is gekozen voor A1.

A1 (kolompatroon), stap 1

0	7	6	1
7	0	1	6
1	6	7	0
6	1	0	7

Voor de 5e rij is alleen de getallencombinatie 1-6-7-0 mogelijk. Hiermee is voor de totale linker onderhoek nog maar één invulling met handhaving van de A-structuur mogelijk:

A1 (kolompatroon), stap 2

0	7	6	1
7	0	1	6
1	6	7	0
6	1	0	7
1	6	7	0
7	0	1	6
0	7	6	1
6	1	0	7

De rechterhelft van het rijpatroon wordt ingevuld met de getallen 2, 3, 4 en 5. Voor kolom 5 zijn er twee invulmogelijkheden: 4-3-5-2 of 2-5-3-4. In het voorbeeld is gekozen voor 4-3-5-2. Met beide mogelijkheden kun je het rechtsboven kwadrant met handhaving van de A-structuur afmaken. Het rechtsonder kwadrant volgt dan vanzelf en heeft noodzakelijkerwijs ook de A-structuur.

A1 (kolompatroon), stap 3

0	7	6	1	4	3	2	5
7	0	1	6	3	4	5	2
1	6	7	0	5	2	3	4
6	1	0	7	2	5	4	3
1	6	7	0
6	1	0	7
0	7	6	1
7	0	1	6

A1 (kolompatroon), stap 4

0	7	6	1	4	3	2	5
7	0	1	6	3	4	5	2
1	6	7	0	5	2	3	4
6	1	0	7	2	5	4	3
1	6	7	0	5	2	3	4
6	1	0	7	2	5	4	3
0	7	6	1	4	3	2	5
7	0	1	6	3	4	5	2

In totaal zijn er 3 (namelijk A1 t/m A3) x 2 (zie invulmogelijkheden van stap 3) = 6 verschillende kolompatronen mogelijk.

Tenslotte kan vanuit het rij- en kolompatroon het magische vierkant worden gemaakt.

1x getal uit rijpatroon +1 + 8x getal uit kolompatroon = meest perfect 8x8 magisch vierkant

0	5	2	7	0	5	2	7	0	7	6	1	4	3	2	5	1	62	51	16	33	30	19	48
6	3	4	1	6	3	4	1	7	0	1	6	3	4	5	2	63	4	13	50	31	36	45	18
5	0	7	2	5	0	7	2	1	6	7	0	5	2	3	4	14	49	64	3	46	17	32	35
3	6	1	4	3	6	1	4	6	1	0	7	2	5	4	3	52	15	2	61	20	47	34	29
0	5	2	7	0	5	2	7	1	6	7	0	5	2	3	4	9	54	59	8	41	22	27	40
6	3	4	1	6	3	4	1	6	1	0	7	2	5	4	3	55	12	5	58	23	44	37	26
5	0	7	2	5	0	7	2	0	7	6	1	4	3	2	5	6	57	56	11	38	25	24	43
3	6	1	4	3	6	1	4	7	0	1	6	3	4	5	2	60	7	10	53	28	39	42	21

Het totaal aantal oplossingsmogelijkheden voor groep 11 is: 48 (rijpatronen H) x 6 (kolompatronen x 2 (omwisseling rij- en kolompatronen) = 576. Hiervan hebben 144 magische vierkanten de extra magische eigenschap X.

Toelichting groep 12

De magische vierkanten van groep 12 worden gemaakt door de basis kwadrant patronen H te combineren met de gereflecteerde basis kwadrant patronen C.

In onderstaand voorbeeld is (evenals bij groep 11) als rijpatroon gekozen voor H4 in alle vier de kwadranten.

H4 (rijpatroon)

0	5	2	7	0	5	2	7
6	3	4	1	6	3	4	1
5	0	7	2	5	0	7	2
3	6	1	4	3	6	1	4
0	5	2	7	0	5	2	7
6	3	4	1	6	3	4	1
5	0	7	2	5	0	7	2
3	6	1	4	3	6	1	4

Nu maken we het 8x8 patroon voor de kolomcoördinaten. Plaats het gereflecteerde basis kwadrant patroon C1*, C3*, of C5* in de linker bovenhoek (n.b.: C2*, C4* en C6* leveren geen bijpassend kolompatroon op). In het voorbeeld is gekozen voor C1*.

C1* (kolompatroon), stap 1

0	7	6	1
6	1	0	7
1	6	7	0
7	0	1	6

Voor de 5e rij is alleen de getallencombinatie 1-6-7-0 mogelijk. Hiermee is voor de totale linker onderhoek nog maar één invulling met handhaving van de C*-structuur mogelijk:

C1* (kolompatroon), stap 2

0	7	6	1
6	1	0	7
1	6	7	0
7	0	1	6
1	6	7	0
7	0	1	6
0	7	6	1
6	1	0	7

De rechterhelft van het rijpatroon wordt ingevuld met de getallen 2, 3, 4 en 5. Voor kolom 5 zijn er twee invulmogelijkheden: 2-4-3-5 of 4-2-5-3. In het voorbeeld is gekozen voor 2-4-3-5. Met beide mogelijkheden kun je het rechtsboven kwadrant met handhaving van de C*-structuur afmaken. Het rechtsonder kwadrant volgt dan vanzelf en heeft noodzakelijkerwijs ook de C*-structuur.

C1* (kolompatroon), stap 3

0	7	6	1	2	5	4	3
6	1	0	7	4	3	2	5
1	6	7	0	3	4	5	2
7	0	1	6	5	2	3	4
1	6	7	0
7	0	1	6
0	7	6	1
6	1	0	7

C1* (kolompatroon), stap 4

0	7	6	1	2	5	4	3
6	1	0	7	4	3	2	5
1	6	7	0	3	4	5	2
7	0	1	6	5	2	3	4
1	6	7	0	3	4	5	2
7	0	1	6	5	2	3	4
0	7	6	1	2	5	4	3
6	1	0	7	4	3	2	5

In totaal zijn er 3 (namelijk C1*, C3* of C5*) x 2 (zie invulmogelijkheden van stap 3) = 6 verschillende kolompatronen mogelijk.

Tenslotte kan vanuit het rij- en kolompatroon het magische vierkant worden gemaakt.

1x getal uit rijpatroon +1 + 8x getal uit kolompatroon = meest perfect 8x8 magisch vierkant

0	5	2	7	0	5	2	7	0	7	6	1	2	5	4	3	1	62	51	16	17	46	35	32
6	3	4	1	6	3	4	1	6	1	0	7	4	3	2	5	55	12	5	58	39	28	21	42
5	0	7	2	5	0	7	2	1	6	7	0	3	4	5	2	14	49	64	3	30	33	48	19
3	6	1	4	3	6	1	4	7	0	1	6	5	2	3	4	60	7	10	53	44	23	26	37
0	5	2	7	0	5	2	7	1	6	7	0	3	4	5	2	9	54	59	8	25	38	43	24
6	3	4	1	6	3	4	1	7	0	1	6	5	2	3	4	63	4	13	50	47	20	29	34
5	0	7	2	5	0	7	2	0	7	6	1	2	5	4	3	6	57	56	11	22	41	40	27
3	6	1	4	3	6	1	4	6	1	0	7	4	3	2	5	52	15	2	61	36	31	18	45

Het totaal aantal oplossingsmogelijkheden voor groep 12 is: 48 (rijpatronen H) x 6 (kolompatronen) x 2 (omwisseling rij- en kolompatronen) = 576. Geen van de vierkanten kan de extra magische eigenschap X hebben.

Toelichting groep 13

De magische vierkanten van groep 13 worden gemaakt door de basis kwadrant patronen H te combineren met de gereflecteerde basis kwadrant patronen C en (ongereflecteerd) A.

H4 (rijpatroon)

0	5	2	7	2	7	0	5
6	3	4	1	4	1	6	3
5	0	7	2	7	2	5	0
3	6	1	4	1	4	3	6
1	4	3	6	3	6	1	4
2	7	0	5	0	5	2	7
4	1	6	3	6	3	4	1
7	2	5	0	5	0	7	2

Nu maken we het 8x8 patroon voor de kolomcoördinaten. Plaats het basis kwadrant patroon A1, A2 of A3 in de linker bovenhoek. In het voorbeeld is gekozen voor A1.

A1 (kolompatroon), stap 1

0	7	6	1
7	0	1	6
1	6	7	0
6	1	0	7

Voor de 5e rij is alleen de getallencombinatie 1-6-7-0 mogelijk. Hiermee is voor de totale linker onderhoek nog maar één invulling mogelijk, en dat is volgens de C*-structuur (wanneer je de A-structuur zou volgen krijg je dubbeling bij het samenstellen van het vierkant!):

A1 (kolompatroon), stap 2

0	7	6	1
7	0	1	6
1	6	7	0
6	1	0	7
1	6	7	0
7	0	1	6
0	7	6	1
6	1	0	7

Voor kolom 5 zijn er twee invulmogelijkheden: 4-3-5-2 of 2-5-3-4. In het voorbeeld is gekozen voor 2-5-3-4. Met beide mogelijkheden kun je het rechtsboven kwadrant alleen met handhaving van de A-structuur afmaken. Het rechtsonder kwadrant volgt dan vanzelf en heeft noodzakelijkerwijs ook de C*-structuur.

A1 (kolompatroon), stap 3

0	7	6	1	2	5	4	3
7	0	1	6	5	2	3	4
1	6	7	0	3	4	5	2
6	1	0	7	4	3	2	5
1	6	7	0
7	0	1	6
0	7	6	1
6	1	0	7

A1 (kolompatroon), stap 4

0	7	6	1	2	5	4	3
7	0	1	6	5	2	3	4
1	6	7	0	3	4	5	2
6	1	0	7	4	3	2	5
1	6	7	0	3	4	5	2
7	0	1	6	5	2	3	4
0	7	6	1	2	5	4	3
6	1	0	7	4	3	2	5

In totaal zijn er 3 (A1, A2 or A3) x 2 (invulmogelijkheden van stap 3) = 6 verschillende kolompatronen mogelijk.

Maar, we hadden natuurlijk ook een C*-kwadrant in de linker bovenhoek van het kolompatroon kunnen plaatsen. Ook dan zouden we twee mogelijkheden hebben gehad om een passend kolompatroon te maken. Met deze optie kun je 6 andere kolompatronen maken.

Tenslotte kan vanuit het rij- en kolompatroon het magische vierkant worden gemaakt.

1x getal uit rijpatroon +1 + 8x getal uit kolompatroon = meest perfect 8x8 mag.vierkant

0	5	2	7	2	7	0	5	0	7	6	1	2	5	4	3	1	62	51	16	19	48	33	30
6	3	4	1	4	1	6	3	7	0	1	6	5	2	3	4	63	4	13	50	45	18	31	36
5	0	7	2	7	2	5	0	1	6	7	0	3	4	5	2	14	49	64	3	32	35	46	17
3	6	1	4	1	4	3	6	6	1	0	7	4	3	2	5	52	15	2	61	34	29	20	47
1	4	3	6	3	6	1	4	1	6	7	0	3	4	5	2	10	53	60	7	28	39	42	21
2	7	0	5	0	5	2	7	7	0	1	6	5	2	3	4	59	8	9	54	41	22	27	40
4	1	6	3	6	3	4	1	0	7	6	1	2	5	4	3	5	58	55	12	23	44	37	26
7	2	5	0	5	0	7	2	6	1	0	7	4	3	2	5	56	11	6	57	38	25	24	43

Het totaal aantal oplossingsmogelijkheden voor groep 13 is: 48 (rijpatronen H) x 12 (kolompatronen) x 2 (omwisseling rij- en kolompatronen) = 1152.

Toelichting groep 14

De magische vierkanten van groep 14 worden gemaakt door de basis kwadrant patronen K te combineren met de basis kwadrant patronen B.

De constructie van de rij- en kolompatronen gaat op analoge manier als in groep 11.

Hieronder zien we een voorbeeld.

1x getal uit rijpatroon +1 + 8x getal uit kolompatroon = meest perfect 8x8 mag.vierkant

0	7	1	6	0	7	1	6	0	1	6	7	2	3	4	5	1	16	50	63	17	32	34	47
3	4	2	5	3	4	2	5	6	7	0	1	4	5	2	3	52	61	3	14	36	45	19	30
6	1	7	0	6	1	7	0	1	0	7	6	3	2	5	4	15	2	64	49	31	18	48	33
5	2	4	3	5	2	4	3	7	6	1	0	5	4	3	2	62	51	13	4	46	35	29	20
4	3	5	2	4	3	5	2	0	1	6	7	2	3	4	5	5	12	54	59	21	28	38	43
7	0	6	1	7	0	6	1	6	7	0	1	4	5	2	3	56	57	7	10	40	41	23	26
2	5	3	4	2	5	3	4	1	0	7	6	3	2	5	4	11	6	60	53	27	22	44	37
1	6	0	7	1	6	0	7	7	6	1	0	5	4	3	2	58	55	9	8	42	39	25	24

Het totaal aantal oplossingsmogelijkheden voor groep 14 is 576.

Toelichting groep 15

De magische vierkanten van groep 15 worden gemaakt door de basis kwadrant patronen K te combineren met de basis kwadrant patronen C.

De constructie van de rij- en kolompatronen gaat op analoge manier als in groep 12.

Hieronder zien we een voorbeeld. Als rijpatroon is dezelfde als boven (groep 14) genomen.

1x getal uit rijpatroon +1 + 8x getal uit kolompatroon = meest perfect 8x8 mag.vierkant

0	7	1	6	0	7	1	6	0	4	3	7	1	5	2	6	1	40	26	63	9	48	18	55
3	4	2	5	3	4	2	5	7	3	4	0	6	2	5	1	60	29	35	6	52	21	43	14
6	1	7	0	6	1	7	0	4	0	7	3	5	1	6	2	39	2	64	25	47	10	56	17
5	2	4	3	5	2	4	3	3	7	0	4	2	6	1	5	30	59	5	36	22	51	13	44
4	3	5	2	4	3	5	2	4	0	7	3	5	1	6	2	37	4	62	27	45	12	54	19
7	0	6	1	7	0	6	1	3	7	0	4	2	6	1	5	32	57	7	34	24	49	15	42
2	5	3	4	2	5	3	4	0	4	3	7	1	5	2	6	3	38	28	61	11	46	20	53
1	6	0	7	1	6	0	7	7	3	4	0	6	2	5	1	58	31	33	8	50	23	41	16

Het totaal aantal oplossingsmogelijkheden voor groep 15 is 576.

Toelichting groep 16

De magische vierkanten van groep 16 worden gemaakt door de basis kwadrant patronen K te combineren met de basis kwadrant patronen CB of BC.

De constructie van de rij- en kolompatronen gaat analoog aan die van groep 13.

Hieronder een voorbeeld (groep 16a):

1x getal uit rijpatroon +1 + 8x getal uit kolompatroon = meest perfect 8x8 mag.vierkant

0	7	1	6	0	7	1	6	0	4	3	7	2	6	1	5	1	40	26	63	17	56	10	47
3	4	2	5	3	4	2	5	7	3	4	0	5	1	6	2	60	29	35	6	44	13	51	22
6	1	7	0	6	1	7	0	4	0	7	3	6	2	5	1	39	2	64	25	55	18	48	9
5	2	4	3	5	2	4	3	3	7	0	4	1	5	2	6	30	59	5	36	14	43	21	52
6	1	7	0	6	1	7	0	0	4	3	7	2	6	1	5	7	34	32	57	23	50	16	41
3	4	2	5	3	4	2	5	3	7	0	4	1	5	2	6	28	61	3	38	12	45	19	54
0	7	1	6	0	7	1	6	4	0	7	3	6	2	5	1	33	8	58	31	49	24	42	15
5	2	4	3	5	2	4	3	7	3	4	0	5	1	6	2	62	27	37	4	46	11	53	20

Het totaal aantal oplossingsmogelijkheden voor groep 16 is groep 16a + 16b is 576 + 576 = 1152.

Toelichting groep 17

De magische vierkanten van groep 17 worden gemaakt door de basis kwadrant patronen HK of KH te combineren met de basis kwadrant patronen CB of BC.

Nogmaals wordt benadrukt dat slechts de helft van de 96 HK rijpatronen succesvol (dus leidend tot kloppende magische vierkanten) met C*B kolompatronen kan worden gecombineerd. Onderstaand is een willekeurig HK-rijpatroon gekozen.

H4 (rijpatroon) K4

0	5	2	7	0	7	2	5
6	3	4	1	6	1	4	3
5	0	7	2	5	2	7	0
3	6	1	4	3	4	1	6
4	1	6	3	4	3	6	1
2	7	0	5	2	5	0	7
1	4	3	6	1	6	3	4
7	2	5	0	7	0	5	2

Nu maken we het 8x8 patroon voor de kolomcoördinaten. Plaats het basis kwadrant patroon C1*, C3* of C5* (n.b.: C2*, C4* en C6* leiden voor dit rijpatroon niet tot kloppende magische vierkanten) in de linker bovenhoek. In het voorbeeld is gekozen voor C1*.

C1* (kolompatroon), stap 1

0	7	6	1
6	1	0	7
1	6	7	0
7	0	1	6

Voor de 5e rij is alleen de getallencombinatie 1-6-7-0 mogelijk. Hiermee is voor de totale linker onderhoek, de C*-structuur volgende, nog maar één invulling mogelijk.

C1* (kolompatroon), stap 2

0	7	6	1
6	1	0	7
1	6	7	0
7	0	1	6
1	6	7	0
7	0	1	6
0	7	6	1
6	1	0	7

Voor kolom 5 zijn er twee invulmogelijkheden: 4-2-5-3 of 2-4-3-5. In het voorbeeld is gekozen voor 4-2-5-3.

Met beide mogelijkheden kun je het rechtsboven kwadrant alleen nog met de B-structuur afmaken. Het rechtsonder kwadrant volgt dan vanzelf en heeft noodzakelijkerwijs ook de B-structuur.

C1* (kolompatroon), stap 3

0	7	6	1	4	5	2	3
6	1	0	7	2	3	4	5
1	6	7	0	5	4	3	2
7	0	1	6	3	2	5	4
1	6	7	0
7	0	1	6
0	7	6	1
6	1	0	7

C1* (kolompatroon), stap 4

0	7	6	1	4	5	2	3
6	1	0	7	2	3	4	5
1	6	7	0	5	4	3	2
7	0	1	6	3	2	5	4
1	6	7	0	5	4	3	2
7	0	1	6	3	2	5	4
0	7	6	1	4	5	2	3
6	1	0	7	2	3	4	5

In totaal zijn er 3 (namelijk de helft van de basis kwadrant patronen C) x 2 (zie invulmogelijkheden van stap 3) = 6 verschillende kolompatronen mogelijk.

Tenslotte kan vanuit het rij- en kolompatroon het magische vierkant worden gemaakt.

1x getal uit rijpatroon +1 + 8x getal uit kolompatroon = meest perfect 8x8 mag.vierkant

0	5	2	7	0	7	2	5	0	7	6	1	4	5	2	3	1	62	51	16	33	48	19	30
6	3	4	1	6	1	4	3	6	1	0	7	2	3	4	5	55	12	5	58	23	26	37	44
5	0	7	2	5	2	7	0	1	6	7	0	5	4	3	2	14	49	64	3	46	35	32	17
3	6	1	4	3	4	1	6	7	0	1	6	3	2	5	4	60	7	10	53	28	21	42	39
4	1	6	3	4	3	6	1	1	6	7	0	5	4	3	2	13	50	63	4	45	36	31	18
2	7	0	5	2	5	0	7	7	0	1	6	3	2	5	4	59	8	9	54	27	22	41	40
1	4	3	6	1	6	3	4	0	7	6	1	4	5	2	3	2	61	52	15	34	47	20	29
7	2	5	0	7	0	5	2	6	1	0	7	2	3	4	5	56	11	6	57	24	25	38	43

Het totaal aantal oplossingsmogelijkheden voor groep 17 is: 48 (rijpatronen HK) x 6 (kolompatronen) x 2 (omwisseling rij- en kolompatronen) = 576.

Toelichting groep 18

De magische vierkanten van groep 18 worden gemaakt door de basis kwadrant patronen HK te combineren met de basis kwadrant patronen AC.

Onderstaand is hetzelfde rijpatroon als in groep 17 gekozen.

H4 (rijpatroon) K4

0	5	2	7	0	7	2	5
6	3	4	1	6	1	4	3
5	0	7	2	5	2	7	0
3	6	1	4	3	4	1	6
4	1	6	3	4	3	6	1
2	7	0	5	2	5	0	7
1	4	3	6	1	6	3	4
7	2	5	0	7	0	5	2

Nu maken we het 8x8 patroon voor de kolomcoördinaten. Plaats het basis kwadrant patroon A1, A2 of A3 in de linker bovenhoek. In het voorbeeld is gekozen voor A1.

A1 (kolompatroon), stap 1

0	7	6	1
7	0	1	6
1	6	7	0
6	1	0	7

Voor de 5e rij is alleen de getallencombinatie 0-7-6-1 mogelijk. Hiermee is voor de totale linker onderhoek nog maar één invulling mogelijk volgens de A-structuur (C* gaat niet lukken!):

A1 (kolompatroon), stap 2

0	7	6	1
7	0	1	6
1	6	7	0
6	1	0	7
0	7	6	1
7	0	1	6
1	6	7	0
6	1	0	7

Voor kolom 5 zijn er twee invulmogelijkheden: 4-3-5-2 of 2-5-3-4. In het voorbeeld is gekozen voor 4-3-5-2. Met beide mogelijkheden kun je het rechtsboven kwadrant alleen nog met de C-structuur afmaken. Het rechtsonder kwadrant volgt dan vanzelf en heeft noodzakelijkerwijs ook de C-structuur.

A1 (kolompatroon), stap 3

0	7	6	1	4	5	2	3
7	0	1	6	3	2	5	4
1	6	7	0	5	4	3	2
6	1	0	7	2	3	4	5
0	7	6	1
7	0	1	6
1	6	7	0
6	1	0	7

A1 (kolompatroon), stap 4

0	7	6	1	4	5	2	3
7	0	1	6	3	2	5	4
1	6	7	0	5	4	3	2
6	1	0	7	2	3	4	5
0	7	6	1	4	5	2	3
7	0	1	6	3	2	5	4
1	6	7	0	5	4	3	2
6	1	0	7	2	3	4	5

In totaal zijn er 3 (namelijk A1 t/m A3) x 2 (zie invulmogelijkheden van stap 3) = 6 verschillende kolompatronen mogelijk.

Tenslotte kan vanuit het rij- en kolompatroon het magische vierkant worden gemaakt.

1x getal uit rijpatroon +1 + 8x getal uit kolompatroon = meest perfect 8x8 magisch vierkant

0	5	2	7	0	7	2	5	0	7	6	1	4	5	2	3	1	62	51	16	33	48	19	30
6	3	4	1	6	1	4	3	7	0	1	6	3	2	5	4	63	4	13	50	31	18	45	36
5	0	7	2	5	2	7	0	1	6	7	0	5	4	3	2	14	49	64	3	46	35	32	17
3	6	1	4	3	4	1	6	6	1	0	7	2	3	4	5	52	15	2	61	20	29	34	47
4	1	6	3	4	3	6	1	0	7	6	1	4	5	2	3	5	58	55	12	37	44	23	26
2	7	0	5	2	5	0	7	7	0	1	6	3	2	5	4	59	8	9	54	27	22	41	40
1	4	3	6	1	6	3	4	1	6	7	0	5	4	3	2	10	53	60	7	42	39	28	21
7	2	5	0	7	0	5	2	6	1	0	7	2	3	4	5	56	11	6	57	24	25	38	43

Het totaal aantal mogelijke vierkanten op basis van bovenstaand voorbeeld (combinatie HKHK/ACAC) is: 48 (rijpatronen HK) x 6 (kolompatronen) x 2 (omwisseling rij- en kolompatronen) = 576. De combinatie KHKH/CACA levert ook 576 vierkanten op. Dus het totale aantal oplossingsmogelijkheden van groep 18 is 576 +576 = 1152.

Toelichting groep 19

De magische vierkanten van groep 19 worden gemaakt door de HK- of KH- basispatronen te combineren met basispatronen bestaande uit A, B, C en C* kwadranten.

Onderstaand is bijna hetzelfde rijpatroon gekozen als voorgaande voorbeelden; alleen de 6e en 8e rij zijn gewisseld.

H4 (rijpatroon) K4

0	5	2	7	0	7	2	5
6	3	4	1	6	1	4	3
5	0	7	2	5	2	7	0
3	6	1	4	3	4	1	6
4	1	6	3	4	3	6	1
7	2	5	0	7	0	5	2
1	4	3	6	1	6	3	4
2	7	0	5	2	5	0	7

Nu maken we het 8x8 patroon voor de kolomcoördinaten. Plaats het basis kwadrant patroon A1, A2 of A3 in de linker bovenhoek. In het voorbeeld is gekozen voor A1.

A1 (kolompatroon), stap 1

0	7	6	1
7	0	1	6
1	6	7	0
6	1	0	7

Voor de 5e rij is alleen de getallencombinatie 0-7-6-1 mogelijk. Hiermee is voor de totale linker onderhoek nog maar één invulling mogelijk, en wel volgens de C*-structuur (A gaat niet lukken wegens dubbeling):

A1 (kolompatroon), stap 2

0	7	6	1
7	0	1	6
1	6	7	0
6	1	0	7
0	7	6	1
6	1	0	7
1	6	7	0
7	0	1	6

C1*

De rechter helft van het kolompatroon wordt ingevuld met de getallen 2, 3, 4 en 5. Voor kolom 5 zijn er twee invulmogelijkheden: 4-3-5-2 of 2-5-3-4. In het voorbeeld is gekozen voor 4-3-5-2. Met beide mogelijkheden kun je het rechtsboven kwadrant alleen met de C-structuur afmaken. Het rechtsonder kwadrant volgt dan vanzelf en heeft noodzakelijkerwijs de B-structuur.

A1 (kolompatroon), stap 3

0	7	6	1	4	5	2	3
7	0	1	6	3	2	5	4
1	6	7	0	5	4	3	2
6	1	0	7	2	3	4	5
0	7	6	1
6	1	0	7
1	6	7	0
7	0	1	6

C1*

A1 (kolompatroon), stap 4

0	7	6	1	4	5	2	3
7	0	1	6	3	2	5	4
1	6	7	0	5	4	3	2
6	1	0	7	2	3	4	5
0	7	6	1	4	5	2	3
6	1	0	7	2	3	4	5
1	6	7	0	5	4	3	2
7	0	1	6	3	2	5	4

C1*

In totaal zijn er 3 (namelijk A1 t/m A3) x 2 (zie invulmogelijkheden van stap 3) = 6 verschillende kolompatronen mogelijk.

Tenslotte kan vanuit het rij- en kolompatroon het magische vierkant worden gemaakt.

1x getal uit rijpatroon +1 + 8x getal uit kolompatroon = meest perfect 8x8 mag. vierkant

0	5	2	7	0	7	2	5	0	7	6	1	4	5	2	3	1	62	51	16	33	48	19	30
6	3	4	1	6	1	4	3	7	0	1	6	3	2	5	4	63	4	13	50	31	18	45	36
5	0	7	2	5	2	7	0	1	6	7	0	5	4	3	2	14	49	64	3	46	35	32	17
3	6	1	4	3	4	1	6	6	1	0	7	2	3	4	5	52	15	2	61	20	29	34	47
4	1	6	3	4	3	6	1	0	7	6	1	4	5	2	3	5	58	55	12	37	44	23	26
7	2	5	0	7	0	5	2	6	1	0	7	2	3	4	5	56	11	6	57	24	25	38	43
1	4	3	6	1	6	3	4	1	6	7	0	5	4	3	2	10	53	60	7	42	39	28	21
2	7	0	5	2	5	0	7	7	0	1	6	3	2	5	4	59	8	9	54	27	22	41	40

Bovenstaande combinatie HKHK/ACC*B (groep 19a) levert 48 x 6 x 2 = 576 vierkanten op.

Maar we hadden natuurlijk ook het kolompatroon kunnen starten met een C*-structuur: Dan krijg je bijvoorbeeld:

H4 K4 C3* B

0	5	2	7	0	7	2	5	0	7	5	2	4	6	1	3	1	62	43	24	33	56	11	30
6	3	4	1	6	1	4	3	5	2	0	7	1	3	4	6	47	20	5	58	15	26	37	52
5	0	7	2	5	2	7	0	2	5	7	0	6	4	3	1	22	41	64	3	54	35	32	9
3	6	1	4	3	4	1	6	7	0	2	5	3	1	6	4	60	7	18	45	28	13	50	39
4	1	6	3	4	3	6	1	2	5	7	0	6	4	3	1	21	42	63	4	53	36	31	10
7	2	5	0	7	0	5	2	5	2	0	7	1	3	4	6	48	19	6	57	16	25	38	51
1	4	3	6	1	6	3	4	0	7	5	2	4	6	1	3	2	61	44	23	34	55	12	29
2	7	0	5	2	5	0	7	7	0	2	5	3	1	6	4	59	8	17	46	27	14	49	40

H K A C

Het totaal aantal oplossingsmogelijkheden voor groep 19 is: 48 (rijpatronen HK) x 6 (kolompatronen) x 2 (rijpatroon KH i.p.v. HK) x 2 (omwisseling kolompatroon C*BAC i.p.v. ACC*B) x 2 (omwisseling rij- en kolompatronen) = 2304.

8x8 magisch vierkant