8x8 magisch vierkant

Kwadrantmethode, groepen 6 t/m 10

 

Algemene toelichting 8x8 basispatronen groep 6 t/m 10

In de voorgaand behandelde groepen vierkanten hadden we alleen te maken met kwadranten die bestonden uit 4 maal 4 getallen. Nu krijgen we kwadranten die bestaan uit 2 maal 8 getallen. Hoeveelx8 H-, K-, en gecombineerde HK-basispatronen zijn er?

 

Plaats basis kwadrant patroon H1, H2, H3, H4, H5 of H6 in de linker bovenhoek. In het voorbeeld is gekozen voor H4.

 

 

 H4 

0

5

2

7

 

 

 

 

6

3

4

1

 

 

 

 

5

0

7

2

 

 

 

 

3

6

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Voor de rechter bovenhoek zijn er nu twee H-keuzes en twee K-keuzes mogelijk

 

 

 H4                     K4                     H                       K 

 0

5

2

7

 

 

0

7

2

5

 

 

2

7

0

5

 

 

2

5

0

7

6

3

4

1

 

 

6

1

4

3

 

 

4

1

6

3

 

 

4

3

6

1

5

0

7

2

 

 

5

2

7

0

 

 

7

2

5

0

 

 

7

0

5

2

3

6

1

4

 

 

3

4

1

6

 

 

1

4

3

6

 

 

1

6

3

4

 

 

Onafhankelijk van de keuze rechtsboven zijn er voor de linker onderhoek de volgende acht keuzes, alle met H-structuur:

 

 

 H4                     H                      H                      H  

0

5

2

7

 

 

5

0

7

2

 

 

4

1

6

3

 

 

1

4

3

6

6

3

4

1

 

 

3

6

1

4

 

 

2

7

0

5

 

 

7

2

5

0

5

0

7

2

 

 

0

5

2

7

 

 

1

4

3

6

 

 

4

1

6

3

3

6

1

4

 

 

6

3

4

1

 

 

7

2

5

0

 

 

2

7

0

5

 

 

 H3                     H                      H                      H

0

5

2

7

 

 

5

0

7

2

 

 

4

1

6

3

 

 

1

4

3

6

3

6

1

4

 

 

6

3

4

1

 

 

7

2

5

0

 

 

2

7

0

5

5

0

7

2

 

 

0

5

2

7

 

 

1

4

3

6

 

 

4

1

6

3

6

3

4

1

 

 

3

6

1

4

 

 

2

7

0

5

 

 

7

2

5

0

 

 

Waarna het 4e kwadrant vastligt. Kiezen we in het tweede kwadrant voor een H-structuur, dan krijgen we een HHHH basispatroon. Zie onder:

 

 

 H4                                H

0

5

2

7

2

7

0

5

6

3

4

1

4

1

6

3

5

0

7

2

7

2

5

0

3

6

1

4

1

4

3

6

4

1

6

3

6

3

4

1

2

7

0

5

0

5

2

7

1

4

3

6

3

6

1

4

7

2

5

0

5

0

7

2

 

 

Kiezen we in tweede kwadrant voor een K-structuur, dan krijgen we een HKHK basispatroon, bijvoorbeeld:

 

 

 H4                                K 

 0

5

2

7

0

7

2

5

6

3

4

1

6

1

4

3

5

0

7

2

5

2

7

0

3

6

1

4

3

4

1

6

4

1

6

3

4

3

6

1

2

7

0

5

2

5

0

7

1

4

3

6

1

6

3

4

7

2

5

0

7

0

5

2

 

 

Wanneer we een K-structuur in het linksbovenkwadrant zetten krijgen we een analoog verhaal. Voor de volledigheid onderstaand het analoge schema voor wanneer we met een K-structuur beginnen, bijvoorbeeld met K4. In het tweede kwadrant hebben we dan de volgende keuzes:
  

 

 K4                     H                       K                       H4 

0

7

2

5

 

 

2

7

0

5

 

 

2

5

0

7

 

 

0

5

2

7

6

1

4

3

 

 

4

1

6

3

 

 

4

3

6

1

 

 

6

3

4

1

5

2

7

0

 

 

7

2

5

0

 

 

7

0

5

2

 

 

5

0

7

2

3

4

1

6

 

 

1

4

3

6

 

 

1

6

3

4

 

 

3

6

1

4

 

 

En, onafhankelijk daarvan, in het derde kwadrant:

 K4                     K                       K                        K 

0

7

2

5

 

 

1

6

3

4

 

 

4

3

6

1

 

 

5

2

7

0

6

1

4

3

 

 

7

0

5

2

 

 

2

5

0

7

 

 

3

4

1

6

5

2

7

0

 

 

4

3

6

1

 

 

1

6

3

4

 

 

0

7

2

5

3

4

1

6

 

 

2

5

0

7

 

 

7

0

5

2

 

 

6

1

4

3

                 

 

0

7

2

5

 

 

1

6

3

4

 

 

4

3

6

1

 

 

5

2

7

0

3

4

1

6

 

 

2

5

0

7

 

 

7

0

5

2

 

 

6

1

4

3

5

2

7

0

 

 

4

3

6

1

 

 

1

6

3

4

 

 

0

7

2

5

6

1

4

3

 

 

7

0

5

2

 

 

2

5

0

7

 

 

3

4

1

6

 K3                      K                       K                       K

 

 

Waarna het KKKK- of KHKH-basispatroon basispatroon vastligt.

 

Uit voorgaande volgt dat er 6 x 16 = 96 HHHH basispatronen, 96 KKKKbasispatronen, 96 HKHK en 96 KHKH basispatronen zijn.

 

In totaal zijn er de 5 volgende combinatiemogelijkheden:

 

Groep 6 :  HHHH/H*H*H*H*,

Groep 7 :  KKKK/K*K*K*K*,

Groep 8 :  HHHH/K*K*K*K*,

Groep 9 :  4 varianten H/M, waarbij H staat voor homogeen en M voor gemengd patroon, Groep 10: 3 varianten M/M

 

 

Toelichting groep 6

In de algemene toelichting groep 6-10 hebben we het volgende 8x8 rijpatroon gemaakt:

 

 
 H4 (rijpatroon)

 0

5

2

7

2

7

0

5

6

3

4

1

4

1

6

3

5

0

7

2

7

2

5

0

3

6

1

4

1

4

3

6

4

1

6

3

6

3

4

1

2

7

0

5

0

5

2

7

1

4

3

6

3

6

1

4

7

2

5

0

5

0

7

2

 

  

Maken we nu het 8x8 patroon voor de kolomcoördinaten. Plaats het (gereflecteerde) basis kwadrant patroon H1*, H2*, H3*, H4*, H5* of H6* in de linker bovenhoek. In het voorbeeld is gekozen voor H5*.

 

 

H5* (kolompatroon), stap 1 

0

6

3

5

 

 

 

 

3

5

0

6

 

 

 

 

4

2

7

1

 

 

 

 

7

1

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Voor de 5e rij is alleen de getallencombinatie 4-2-7-1 mogelijk. (Wanneer we zouden kiezen voor 0-6-3-5, krijgen we problemen bij het samenstellen van het eindvierkant). Hiermee is voor de totale linker onderhoek nog maar één invulling volgens de H*-structuur mogelijk:

 

 

 H5* (kolompatroon), stap 2 

0

6

3

5

 

 

 

 

3

5

0

6

 

 

 

 

4

2

7

1

 

 

 

 

7

1

4

2

 

 

 

 

4

2

7

1

 

 

 

 

7

1

4

2

 

 

 

 

0

6

3

5

 

 

 

 

3

5

0

6

 

 

 

 

 

 

Voor de 5e kolom zijn alleen de getallencombinaties 0-3-4-7 of 2-1-6-5 mogelijk. In het voorbeeld is gekozen voor 2-1-6-5. Met beide mogelijkheden kun je het kwadrant rechtsboven afmaken met handhaving van de H*-structuur. Het rechtsonderkwadrant volgt dan vanzelf en heeft noodzakelijkerwijs ook de H*-structuur.

 

 

 H5* (kolompatroon), stap 3

0

6

3

5

2

4

1

7

3

5

0

6

1

7

2

4

4

2

7

1

6

0

5

3

7

1

4

2

5

3

6

0

4

2

7

1

 

 

 

 

7

1

4

2

 

 

 

 

0

6

3

5

 

 

 

 

3

5

0

6

 

 

 

 

 

 

 H5* (kolompatroon), stap 4

0

6

3

5

2

4

1

7

3

5

0

6

1

7

2

4

4

2

7

1

6

0

5

3

7

1

4

2

5

3

6

0

4

2

7

1

6

0

5

3

7

1

4

2

5

3

6

0

0

6

3

5

2

4

1

7

3

5

0

6

1

7

2

4

 

 

In totaal zijn er 6 (namelijk H1* t/m H6*) x 2 (zie invulmogelijkheden van stap 3) = 12 verschillende kolompatronen mogelijk.

 

Tenslotte kan vanuit het rij- en kolompatroon het magische vierkant worden gemaakt.

 

 

  1x getal uit rijpatroon +1          +     8x getal uit kolompatroon         =     meest perfect 8x8 magisch vierkant 

0

5

2

7

2

7

0

5

 

 

0

6

3

5

2

4

1

7

 

 

1

54

27

48

19

40

9

62

6

3

4

1

4

1

6

3

 

 

3

5

0

6

1

7

2

4

 

 

31

44

5

50

13

58

23

36

5

0

7

2

7

2

5

0

 

 

4

2

7

1

6

0

5

3

 

 

38

17

64

11

56

3

46

25

3

6

1

4

1

4

3

6

 

 

7

1

4

2

5

3

6

0

 

 

60

15

34

21

42

29

52

7

4

1

6

3

6

3

4

1

 

 

4

2

7

1

6

0

5

3

 

 

37

18

63

12

55

4

45

26

2

7

0

5

0

5

2

7

 

 

7

1

4

2

5

3

6

0

 

 

59

16

33

22

41

30

51

8

1

4

3

6

3

6

1

4

 

 

0

6

3

5

2

4

1

7

 

 

2

53

28

47

20

39

10

61

7

2

5

0

5

0

7

2

 

 

3

5

0

6

1

7

2

4

 

 

32

43

6

49

14

57

24

35

 

 

Het totaal aantal oplossingsmogelijkheden voor groep 6 is: 48 (rijpatronen) x 12 (kolompatronen) = 576.

 

 

Toelichting groep 7

De magische vierkanten van groep 7 worden gemaakt door de basis kwadrant patronen K te combineren met gereflecteerde (= gedraaide/gespiegelde) basis kwadrant patronen K.

 

Groep K is analoog opgebouwd als groep H. Voor detailuitleg over de constructie, zie algemene toelichting groep 6 - 10. Hieronder worden twee voorbeelden voor groep 7 gegeven. N.B.: Beide voorbeelden hebben de extra magische eigenschap X.

 

 

 1x getal uit rijpatroon +1  +   8x getal uit kolompatroon =   meest perfect 8x8 mag.vierkant

0

7

2

5

0

7

2

5

 

 

0

3

5

6

1

2

4

7

 

 

1

32

43

54

9

24

35

62

3

4

1

6

3

4

1

6

 

 

7

4

2

1

6

5

3

0

 

 

60

37

18

15

52

45

26

7

5

2

7

0

5

2

7

0

 

 

2

1

7

4

3

0

6

5

 

 

22

11

64

33

30

3

56

41

6

1

4

3

6

1

4

3

 

 

5

6

0

3

4

7

1

2

 

 

47

50

5

28

39

58

13

20

0

7

2

5

0

7

2

5

 

 

2

1

7

4

3

0

6

5

 

 

17

16

59

38

25

8

51

46

3

4

1

6

3

4

1

6

 

 

5

6

0

3

4

7

1

2

 

 

44

53

2

31

36

61

10

23

5

2

7

0

5

2

7

0

 

 

0

3

5

6

1

2

4

7

 

 

6

27

48

49

14

19

40

57

6

1

4

3

6

1

4

3

 

 

7

4

2

1

6

5

3

0

 

 

63

34

21

12

55

42

29

4

  

 

 1x getal uit rijpatroon +1  +  8x getal uit kolompatroon   =  meest perfect 8x8 mag.vierkant

0

7

2

5

0

7

2

5

 

 

0

3

5

6

1

2

4

7

 

 

1

32

43

54

9

24

35

62

3

4

1

6

3

4

1

6

 

 

7

4

2

1

6

5

3

0

 

 

60

37

18

15

52

45

26

7

5

2

7

0

5

2

7

0

 

 

2

1

7

4

3

0

6

5

 

 

22

11

64

33

30

3

56

41

6

1

4

3

6

1

4

3

 

 

5

6

0

3

4

7

1

2

 

 

47

50

5

28

39

58

13

20

1

6

3

4

1

6

3

4

 

 

0

3

5

6

1

2

4

7

 

 

2

31

44

53

10

23

36

61

2

5

0

7

2

5

0

7

 

 

7

4

2

1

6

5

3

0

 

 

59

38

17

16

51

46

25

8

4

3

6

1

4

3

6

1

 

 

2

1

7

4

3

0

6

5

 

 

21

12

63

34

29

4

55

42

7

0

5

2

7

0

5

2

 

 

5

6

0

3

4

7

1

2

 

 

48

49

6

27

40

57

14

19

 

 

Het totaal aantal oplossingsmogelijkheden voor groep 7 is: 48 (rijpatronen) x 12 (kolompatronen) = 576. Hiervan hebben 144 (= helft van de rijpatronen x helftvan de kolompatronen) magische vierkanten de extra magische eigenschap X.

 

 

Toelichting groep 8

De magische vierkanten van groep 8 worden gemaakt door de basis kwadrant patronen H te combineren met de gereflecteerde (= gedraaide/gespiegelde) basis kwadrant patronen K of vice versa.

 

Voor detailuitleg over de constructie, zie de algemene toelichting groep 6 - 10. Hieronder worden twee voorbeelden voor groep 8 gegeven.

 

 

 1x getal uit rijpatroon +1  +  8x getal uit kolompatroon   =  meest perfect 8x8 mag.vierkant

0

5

2

7

0

5

2

7

 

 

0

6

5

3

1

7

4

2

 

 

1

54

43

32

9

62

35

24

6

3

4

1

6

3

4

1

 

 

7

1

2

4

6

0

3

5

 

 

63

12

21

34

55

4

29

42

5

0

7

2

5

0

7

2

 

 

2

4

7

1

3

5

6

0

 

 

22

33

64

11

30

41

56

3

3

6

1

4

3

6

1

4

 

 

5

3

0

6

4

2

1

7

 

 

44

31

2

53

36

23

10

61

0

5

2

7

0

5

2

7

 

 

2

4

7

1

3

5

6

0

 

 

17

38

59

16

25

46

51

8

6

3

4

1

6

3

4

1

 

 

5

3

0

6

4

2

1

7

 

 

47

28

5

50

39

20

13

58

5

0

7

2

5

0

7

2

 

 

0

6

5

3

1

7

4

2

 

 

6

49

48

27

14

57

40

19

3

6

1

4

3

6

1

4

 

 

7

1

2

4

6

0

3

5

 

 

60

15

18

37

52

7

26

45

 

 

 1x getal uit rijpatroon +1  +   8x getal uit kolompatroon = meest perfect 8x8 magisch vierkant

0

5

2

7

0

5

2

7

 

 

0

6

5

3

5

3

0

6

 

 

1

54

43

32

41

30

3

56

6

3

4

1

6

3

4

1

 

 

7

1

2

4

2

4

7

1

 

 

63

12

21

34

23

36

61

10

5

0

7

2

5

0

7

2

 

 

2

4

7

1

7

1

2

4

 

 

22

33

64

11

62

9

24

35

3

6

1

4

3

6

1

4

 

 

5

3

0

6

0

6

5

3

 

 

44

31

2

53

4

55

42

29

0

5

2

7

0

5

2

7

 

 

2

4

7

1

7

1

2

4

 

 

17

38

59

16

57

14

19

40

6

3

4

1

6

3

4

1

 

 

5

3

0

6

0

6

5

3

 

 

47

28

5

50

7

52

45

26

5

0

7

2

5

0

7

2

 

 

0

6

5

3

5

3

0

6

 

 

6

49

48

27

46

25

8

51

3

6

1

4

3

6

1

4

 

 

7

1

2

4

2

4

7

1

 

 

60

15

18

37

20

39

58

13

 

 

Het totaal aantal oplossingsmogelijkheden voor groep 8 is: 96 (rijpatronen) x 12 (kolompatronen) x 2 (omwisseling rij- en kolompatronen) = 2304. Bij omwisseling van de rij- en kolompatronen kunnen (uiteraard) geen dubbelingen voorkomen.

 


Toelichting groep 9

De magische vierkanten van groep 9 worden gemaakt door de HK basis kwadrant patronen te combineren met de gereflecteerde (= gedraaide/gespiegelde) H óf K basis kwadrant patronen of vice versa.

 

Voor detailuitleg over de constructie, zie de algemene toelichting bij groep 6 - 10. Hieronder worden 2 voorbeelden gegeven.

 

 

1x getal HK rijpatroon +1 + 8x getal H*K* kolompatroon = meest perfect 8x8 mag. vierkant 

0

7

2

5

0

7

2

5

 

 

0

3

5

6

1

2

4

7

 

 

1

32

43

54

9

24

35

62

3

4

1

6

3

4

1

6

 

 

7

4

2

1

6

5

3

0

 

 

60

37

18

15

52

45

26

7

5

2

7

0

5

2

7

0

 

 

2

1

7

4

3

0

6

5

 

 

22

11

64

33

30

3

56

41

6

1

4

3

6

1

4

3

 

 

5

6

0

3

4

7

1

2

 

 

47

50

5

28

39

58

13

20

0

7

2

5

0

7

2

5

 

 

2

1

7

4

3

0

6

5

 

 

17

16

59

38

25

8

51

46

6

1

4

3

6

1

4

3

 

 

7

4

2

1

6

5

3

0

 

 

63

34

21

12

55

42

29

4

5

2

7

0

5

2

7

0

 

 

0

3

5

6

1

2

4

7

 

 

6

27

48

49

14

19

40

57

3

4

1

6

3

4

1

6

 

 

5

6

0

3

4

7

1

2

 

 

44

53

2

31

36

61

10

23

 

 

1x getal HK rijpatroon +1 + 8x getal H*K* kolompatroon = meest perfect 8x8 mag. vierkant

0

5

2

7

0

5

2

7

 

 

0

6

5

3

1

7

4

2

 

 

1

54

43

32

9

62

35

24

6

3

4

1

6

3

4

1

 

 

7

1

2

4

6

0

3

5

 

 

63

12

21

34

55

4

29

42

5

0

7

2

5

0

7

2

 

 

2

4

7

1

3

5

6

0

 

 

22

33

64

11

30

41

56

3

3

6

1

4

3

6

1

4

 

 

5

3

0

6

4

2

1

7

 

 

44

31

2

53

36

23

10

61

0

5

2

7

0

5

2

7

 

 

2

4

7

1

3

5

6

0

 

 

17

38

59

16

25

46

51

8

3

6

1

4

3

6

1

4

 

 

7

1

2

4

6

0

3

5

 

 

60

15

18

37

52

7

26

45

5

0

7

2

5

0

7

2

 

 

0

6

5

3

1

7

4

2

 

 

6

49

48

27

14

57

40

19

6

3

4

1

6

3

4

1

 

 

5

3

0

6

4

2

1

7

 

 

47

28

5

50

39

20

13

58

 


Alle voorbeelden leveren 48 x 12 x2 = 1152 vierkanten op. Dus het totaal aantal oplossingsmogelijkheden voor groep 9 is 4 x 1152 = 4608.

 

Toelichting 10
De magische vierkanten van groep 10 worden gemaakt door de HK basis kwadrant patronen te combineren met de gereflecteerde (= gedraaide/gespiegelde) HK basis kwadrant patronen of vice versa.

 

Voor detailuitleg over de constructie, zie de algemene toelichting bij groep 6 - 10. Hieronder worden 2 voorbeelden gegeven.
   

 

1x getal HK rijpatroon +1 + 8x getal H*K* kolompatroon = meest perfect 8x8 magisch vierkant

0

5

2

7

0

7

2

5

 

 

0

6

5

3

1

2

4

7

 

 

1

54

43

32

9

24

35

62

6

3

4

1

6

1

4

3

 

 

5

3

0

6

4

7

1

2

 

 

47

28

5

50

39

58

13

20

5

0

7

2

5

2

7

0

 

 

2

4

7

1

3

0

6

5

 

 

22

33

64

11

30

3

56

41

3

6

1

4

3

4

1

6

 

 

7

1

2

4

6

5

3

0

 

 

60

15

18

37

52

45

26

7

4

1

6

3

4

3

6

1

 

 

2

4

7

1

3

0

6

5

 

 

21

34

63

12

29

4

55

42

7

2

5

0

7

0

5

2

 

 

5

3

0

6

4

7

1

2

 

 

48

27

6

49

40

57

14

19

1

4

3

6

1

6

3

4

 

 

0

6

5

3

1

2

4

7

 

 

2

53

44

31

10

23

36

61

2

7

0

5

2

5

0

7

 

 

7

1

2

4

6

5

3

0

 

 

59

16

17

38

51

46

25

8

 

          
 Het totaal aantal oplossingsmogelijkheden voor groep 10a is : 48 (rijpatronen) x 12 (kolompatronen) = 576. Analoog levert groep 10b ook 576 oplossingsmogelijkheden op.

 

 

1x getal HK rijpatroon +1 + 8x getal K*H* kolompatroon = meest perfect 8x8 magisch vierkant

0

5

2

7

0

7

2

5

 

 

0

6

5

3

1

2

4

7

 

 

1

54

43

32

9

24

35

62

6

3

4

1

6

1

4

3

 

 

7

1

2

4

6

5

3

0

 

 

63

12

21

34

55

42

29

4

5

0

7

2

5

2

7

0

 

 

2

4

7

1

3

0

6

5

 

 

22

33

64

11

30

3

56

41

3

6

1

4

3

4

1

6

 

 

5

3

0

6

4

7

1

2

 

 

44

31

2

53

36

61

10

23

4

1

6

3

4

3

6

1

 

 

0

6

5

3

1

2

4

7

 

 

5

50

47

28

13

20

39

58

7

2

5

0

7

0

5

2

 

 

5

3

0

6

4

7

1

2

 

 

48

27

6

49

40

57

14

19

1

4

3

6

1

6

3

4

 

 

2

4

7

1

3

0

6

5

 

 

18

37

60

15

26

7

52

45

2

7

0

5

2

5

0

7

 

 

7

1

2

4

6

5

3

0

 

 

59

16

17

38

51

46

25

8

 

   

Het totaal aantal oplossingsmogelijkheden voor groep 9c is: 48 (rijpatronen) x 12 (kolompatronen) x 2 (omwisseling rij- en kolompatronen) = 1152.

8x8 magisch vierkant