8x8 magisch vierkant

Kwadrantmethode, inleiding

 

Hoe maak je meest perfecte magische 8x8 vierkanten met de kwadrantmethode

De kwadrant methode is bedacht door Willem Barink (tevens de bedenker van de medjig methode). De kwadrant methode werkt met name voor meest perfecte magische 8x8 vierkanten, maar is in aangepaste vorm ook bruikbaar voor meest perfecte magische 12x12, 16x16, … vierkanten. Zie hiervoor bijvoorbeeld de website http://iteror.org/friends/ wba/magic-squares.html. Op deze pagina wordt uitgelegd hoe met behulp van de kwadrant methode meest perfecte (ook voldoend aan de franklin-) panmagische 8x8 vierkanten kunnen worden gemaakt.

 

De kwadrant methode houdt in dat je met behulp van 4x4 kwadranten twee bij elkaar passende 8x8 basispatronen vindt, te weten een 8x8 patroon voor de eenheden en een 8x8 patroon voor de acht- vouden. In uitleg over panmagisch 5x5 vierkant worden deze basispatronen respectievelijk rijpatroon en kolompatroon genoemd; met het oog op de uniformiteit van de terminologie op deze website worden deze termen in het vervolg van dit stuk aangehouden.

 

Beide 8x8 patronen bestaan uit 8 keer de getallen 0 t/m 7. Wil je een “meest perfect” magisch 8x8 vierkant maken, dan moeten de twee 8x8 basispatronen afzonderlijk reeds de magische eigenschappen van het meest perfecte magische 8x8 vierkant hebben, en moeten derhalve ook de vier 4x4 kwadranten binnen het 8x8 patroon, panmagisch zijn.

 

Dit stuk behandelt alleen vierkanten met het getal 1 in de linkerbovenhoek.De leidende kwadranten beginnen derhalve met het getal 0 linksboven.Volgens Willem Barink zijn er slechts 30 panmagische 4x4 kwadranten met het getal 0 in de linker bovenhoek (“0-kwadranten”), diagonaal gespiegelde kwadranten niet meegeteld. Uitgaande van deze 0-kwadranten heeft Willem Barink alle combinatiemogelijkheden onderzocht en is uitgekomen op 37 combinatiemogelijkheden.

 

Op deze webpagina vind je ten eerste de tabel met de 30 0-kwadranten, ten tweede de tabel met de 37 combinatiemogelijkheden en ten slotte een toelichting per groep. In de toelichting per groep is stap voor stap aangegeven hoe nu precies twee bijelkaar passende 8x8 rij- en kolompatronen, en van daaruit het vierkant, tot stand komen. Ook wordt per groep het aantal (verschillende) vierkanten bepaald, dat door deze combinatiemogelijkheid kan worden gemaakt.

 

 

De 30 0-kwadranten  

0

6

7

1

 

 

0

1

7

6

 

 

0

5

7

2

 

 

0

2

7

5

 

 

0

4

7

3

 

 

0

3

7

4

7

1

0

6

 

 

7

6

0

1

 

 

7

2

0

5

 

 

7

5

0

2

 

 

7

3

0

4

 

 

7

4

0

3

0

6

7

1

 

 

0

1

7

6

 

 

0

5

7

2

 

 

0

2

7

5

 

 

0

4

7

3

 

 

0

3

7

4

7

1

0

6

 

 

7

6

0

1

 

 

7

2

0

5

 

 

7

5

0

2

 

 

7

3

0

4

 

 

7

4

0

3

 G1                     G2                      G3                     G4                      G5                     G6

 

 

0

6

1

7

 

 

0

5

2

7

 

 

0

3

4

7

 

 

0

7

6

1

 

 

0

7

5

2

 

 

0

7

3

4

1

7

0

6

 

 

2

7

0

5

 

 

4

7

0

3

 

 

7

0

1

6

 

 

7

0

2

5

 

 

7

0

4

3

6

0

7

1

 

 

5

0

7

2

 

 

3

0

7

4

 

 

1

6

7

0

 

 

2

5

7

0

 

 

4

3

7

0

7

1

6

0

 

 

7

2

5

0

 

 

7

4

3

0

 

 

6

1

0

7

 

 

5

2

0

7

 

 

3

4

0

7

 B1                  B2                  B3                   A1                  A2                 A3

 

 

0

6

1

7

 

 

0

1

6

7

 

 

0

5

2

7

 

 

0

2

5

7

 

 

0

3

4

7

 

 

0

4

3

7

7

1

6

0

 

 

7

6

1

0

 

 

7

2

5

0

 

 

7

5

2

0

 

 

7

4

3

0

 

 

7

3

4

0

6

0

7

1

 

 

1

0

7

6

 

 

5

0

7

2

 

 

2

0

7

5

 

 

3

0

7

4

 

 

4

0

7

3

1

7

0

6

 

 

6

7

0

1

 

 

2

7

0

5

 

 

5

7

0

2

 

 

4

7

0

3

 

 

3

7

0

4

 C1                      C2                     C3                      C4                     C5                      C6

 

 

 

0

6

1

7

 

 

0

6

1

7

 

 

0

5

2

7

 

 

0

5

2

7

 

 

0

3

4

7

 

 

0

3

4

7

3

5

2

4

 

 

5

3

4

2

 

 

3

6

1

4

 

 

6

3

4

1

 

 

6

5

2

1

 

 

5

6

1

2

6

0

7

1

 

 

6

0

7

1

 

 

5

0

7

2

 

 

5

0

7

2

 

 

3

0

7

4

 

 

3

0

7

4

5

3

4

2

 

 

3

5

2

4

 

 

6

3

4

1

 

 

3

6

1

4

 

 

5

6

1

2

 

 

6

5

2

1

 H1                  H2                  H3                 H4                  H5                  H6

 

 

0

7

1

6

 

 

0

7

1

6

 

 

0

7

2

5

 

 

0

7

2

5

 

 

0

7

4

3

 

 

0

7

4

3

5

2

4

3

 

 

3

4

2

5

 

 

3

4

1

6

 

 

6

1

4

3

 

 

6

1

2

5

 

 

5

2

1

6

6

1

7

0

 

 

6

1

7

0

 

 

5

2

7

0

 

 

5

2

7

0

 

 

3

4

7

0

 

 

3

4

7

0

3

4

2

5

 

 

5

2

4

3

 

 

6

1

4

3

 

 

3

4

1

6

 

 

5

2

1

6

 

 

6

1

2

5

 K1                     K2                      K3                     K4                      K5                     K6

 

De kwadranten zijn in 6 verschillende structuren te verdelen die G, A, B, C, H en K genoemd zijn. Spelend met deze structuren om een 8x8 basispatroon te maken, zal je merken dat de combinatie- mogelijkheden om één panmagisch 8x8 basispatroon te maken beperkt is. Hieronder zie je een schema met de mogelijkheden.

 

 

G

G

 

 

A

A

 

 

B

B

 

 

C

C

 

 

C

C

 

 

H

H

 

 

K

K

G

G

 

 

A

A

 

 

B

B

 

 

C

C

 

 

C

C

 

 

H

H

 

 

K

K

 

  

A

A

 

 

A

C

 

 

B

B

 

 

B

C*

 

 

C

A*

 

 

C

A

 

 

H

K

C*

C*

 

 

A

C

 

 

C

C

 

 

B

C*

 

 

B

C*

 

 

B*

C*

 

 

H

K

 

  

Met de bruine en zwarte C wordt bedoeld dat er binnen de C-groep twee verschillende combinatie- mogelijkheden zijn, namelijk met C1, C3 en C5, en met C2, C4 en C6.

 Met * wordt bedoeld: diagonaal gespiegelde of gereflecteerde (structuur van het) kwadrant.

 Ook zal je merken, wanneer je een bijpassend tweede basispatroon zoekt, dat de structuren selectief op elkaar passen. Een zeer aparte plaats neemt de G-structuur in: behalve dat deze zich alleen met G-structuren laat combineren tot één 8x8 basispatroon (zie de balk boven), moet het bijpassende tweede basispatroon noodzakelijkerwijs helemaal uit gespiegelde G-structuren bestaan. Onderstaand is in het kort aangegeven hoe de structuren per kwadrant op elkaar passen (met * wordt de diagonaal gespiegelde structuur bedoeld):

  

G <> G*

A <> B, H

B <> A, K*,

C <> C*, H*

C <> C*, K
 H <> H*, K*, C*, A,

K <> K*, H*, C, B*

 

 

De 37 combinatiemogelijkheden

Zie op de volgende bladzijde de 37 combinatiemogelijkheden, uitgaande van de 30 0-kwadranten. De getallen betreffen berekende aantallen uitgaande van vierkanten met het getal 1 linksboven.

 

 

 

 

 

 Rij/kolom patroon

 

 

 

 r x k

  

 

 k/r-switch

 

 Totaal 

 

 

 X

1

G

G

 

G*

G*

G

G

 

G*

G*

 

 48x48

= 2304

        -

=    2304

 

 36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

A

A

 

B

B

A

A

 

B

B

 

 12x12

=   144

+   144    

=      288

 

 

 

 

3a

C

C

 

C*

C*

C

C

 

C*

C*

 

 12x12

=   144

         -

=      144

C1, C3, C5     

 36

 

 

3b

C

C

 

C*

C*

C

C

 

C*

C*

 

 12x12

=   144

         -

=      144

 

  

 

4a

C

A*

 

C*

B*

B

C*

 

A

C

 

 12x12

=   144

         -

=      144

 

 

 

 

4b

C

A

 

C*

B

B*

C*

 

A*

C

 

 12x12

=   144

         -

=      144

 

 

 

 

4c

A

C

 

B

C*

C*

B*

 

C

A*

 

 12x12

=   144

+   144

=      288

 

 

 

 

5a

C

A*

 

C*

B*

C

A*

 

C*

B*

 

 12x12

=   144

+   144

=      288

 

 

 

 

5b

C

C

 

C*

C*

B*

B*

 

A*

A*

 

 12x12

=   144

+   144

=      288

 

 

 

 

5c

B

C*

 

A

C

B

C*

 

A

C

 

 12x12

=   144

+   144

=      288

 

 

 

 

5d

A

A

 

B

B

C*

C*

 

C

C

 

 12x12

=   144

+   144

=      288

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

H

H

 

H*

H*

H

H

 

H*

H*

 

 48x12

= 576

         -

=     576

 

 

 

 

7

K

K

 

K*

K*

K

K

 

K*

K*

 

 48x12

= 576

         -

=     576

 

144

 

 

8

H

H

 

K*

K*

H

H

 

K*

K*

 

 48x12

= 576

+ 576

=    1152

 

 

 

 

9a

H

H

 

H*

H*

H

H

 

K*

K*

 

 48x12

= 576

+ 576

=    1152

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9b

H

H

 

K*

K*

H

H

 

H*

H*

 

 48x12

=   576

+ 576

=    1152

 

 

 

 

9c

K

K

 

K*

K*

K

K

 

H*

H*

 

 48x12

= 576

+ 576

=    1152

 

 

 

 

9d

K

K

 

H*

H*

K

K

 

K*

K*

 

 48x12

=   576

+ 576

=    1152

 

 

 

 

10a

H

K

 

H*

H*

H

K

 

K*

K*

 

 48x12

= 576

       -

=     576

 

 

 

 

10b

K

H

 

K*

K*

K

H

 

H*

H*

 

 48x12

= 576

       -

=     576

 

 

 

 

10c

H

K

 

K*

K*

H

K

 

H*

H*

 

 48x12

= 576

+ 576

=    1152

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

H

H

 

A

A

H

H

 

A

A

 

 48 x 6

=   288

+ 288

=      576

 

144

 

 

12

H

H

 

C*

C*

H

H

 

C*

C*

 

 48 x 6

=   288

+ 288

=      576

 

 

 

 

13a

H

H

 

C*

C*

H

H

 

A

A

 

 48 x 6

=   288

+ 288

=      576

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13b

H

H

 

A

A

H

H

 

C*

C*

 

 48 x 6

=   288

+ 288

=      576

 

 

 

 

14

K

K

 

B*

B*

K

K

 

B*

B*

 

 48 x 6

=   288

+ 288

=      576

 

 

 

 

15

K

K

 

C

C

K

K

 

C

C

 

 48 x 6

=   288

+ 288

=      576

 

 

 

 

16a

K

K

 

C

C

K

K

 

B*

B*

 

 48 x 6

=   288

+ 288

=      576

 

 

 

 

16b

K

K

 

B*

B*

K

K

 

C

C

 

 48 x 6

=   288

+ 288

=      576

 

 

 

 

17a

H

K

 

C*

B*

H

K

 

C*

B*

 

 48 x 6

=   288

+ 288

=      576

 

 

 

 

17b

K

H

 

B*

C*

K

H

 

B*

C*

 

 48 x 6

=   288

+   288

=      576

 

 

 

 

18a

H

K

 

A

C

H

K

 

A

C

 

 48 x 6

=   288

+ 288

=      576

 

 

 

 

18b

K

H

 

C

A

K

H

 

C

A

 

 48 x 6

=   288

+ 288

=      576

 

 

 

 

19a

H

K

 

A

C

H

K

 

C*

B*

 

 48 x 6           

=   288

+ 288

=      576

 

 

 

 

19b

H

K

 

C*

B*

H

K

 

A

C

 

 48 x 6           

=   288

+ 288

=      576

 

 

 

 

19c

K

H

 

B*

C*

K

H

 

C

A

 

 48 x 6

=   288

+   288

=      576

 

 

 

 

19d

K

H

 

C

A*

K

H

 

B*

C*

 

 48 x 6

=   288

+   288

=      576

 

 

 

 

 

 

 

   14112

+   8928

    = 23040

 

 360

 

  

* Indien achter een letter een sterretje staat, dan wordt hiermee het gereflecteerde (is diagonaal gespiegelde) basis kwadrant patroon bedoeld (zie voor de precieze uitwerking hiervan, de toelich- tingen per groep).

  

X In de X-kolom is het door Willem Barink berekende aantal oplossingen aangegeven voor de in de betreffende groep mogelijke vierkanten met de extra magische eigenschap dat niet alleen de som van de getallen van de posities 1 t/m 4 en 5 t/m 8, maar ook van de posities 3 t/m 6 in elke rij en elke kolom de magische som van 130 leveren.

 
De tabel met combinatiemogelijkheden kan onderverdeeld worden in de volgende 4 'klassen':

  • Combinatie 1, de G-vierkanten, 1 x 2304 vierkanten; 36 met extra magische eigenschap X
  • Combinaties 2-5d, de A,B,C-vierkanten, 16 x 144 = 2304 vierkanten; 36 met extra magische eigenschap X
  • Combinatie 6-10c, de H,K-vierkanten, 16 x 576 = 9216 vierkanten; 144 met extra magische eigenschap X
  • Combinatie 11-19, de H,K/A,B,C-vierkanten, 16 x 576 = 9216 vierkanten; 144 met extra magische eigenschap X

In totaal komt Willem Barink uit op 23.040 verschillende oplossingsmogelijkheden voor vierkanten met het getal 1 linksboven. Dit aantal is vergelijkbaar met het aantal van 12 panmagische 4x4 vierkanten met het getal 1 in de linker bovenhoek, zoals b.v. aangegeven op de website van Harvey Heinz: www.magic-squares.net/order4list.htm. Via reflectie (diagonaal spiegelen) van deze 12 vierkanten krijg je in totaal 12 x 2 is 24 panmagische 4x4 vierkanten met het getal 1 in de linker bovenhoek (= totaal aantal mogelijkheden inclusief draaiingen en/of spiegelingen). 24 / 8 (correctie voor draaiingen en/of spiegelingen) x 16 (getallen 1 t/m 16 komen in evenredige mate in de linker bovenhoek voor) = 48 panmagische 4x4 vierkanten exclusief draaiingen en/of spiegelingen. Dus 23040 x 2 / 8 x 64 = 368.640. Dit houdt in dat via de kwadrant methode alle meest perfecte (Franklin pan)magische 8x8 vierkanten kunnen worden gemaakt.

8x8 magisch vierkant