De website is primair ingedeeld op dimensie en orde (= grootte binnen de dimensie). Voor de oplossingsmethodes per dimensie/orde, ga naar twee dimensionaal, drie dimensionaal, vier dimensionaal, vijf dimensionaal of zes dimensionaal

 

Dwars door de ordes lopen de oplossingsmethodes. Welke methodes je kunt toepassen binnen twee dimensionaal, hangt af van de orde van het magisch vierkant. Is de orde oneven of even. Indien oneven, is het een priemgetal, een veelvoud van 3, of anders. Indien even, is het een veelvoud van 4 of dubbel oneven. Ordes 9 (3x3), 12 (3x4), 15 (3x5),16 (4x4), 18 (3x6), 20 (4x5), 21 (3x7), 24 (3x8 of 4x6), 25 (5x5), 27 (3x9), 28 (4x7), 30 (5x6 of 3x10) en 32 (4x8) zijn zogenaamde samengestelde ordes.

 

Zie hieronder de methodes verdeeld in alle, oneven, oneven vanaf 5x5, priemgetal vanaf 5x5, oneven kwadraat, priemgetal A x priemgetal B, 3 tot de macht oneven, 9, even vanaf 6x6, dubbel oneven, veelvoud van 4, veelvoud van 4 vanaf 8x8, 2 tot de macht n vanaf 8x8, 4&8, 8&16, 8, 16 en samengestelde ordes.

 

Methode voor alle ordes

Als je de startpunten meerekent, is er precies één methode die toepasbaar is voor elke (dus oneven en even) grootte (tot in het oneindige) en dat is het concentrisch magisch vierkant. Startpunt van het concentrisch magische vierkant is voor oneven 3x3 en voor even 4x4. Daarna is er een truc om telkens weer een nieuwe rand om het magische vierkant heen te leggen, zodat een 3x3 in 5x5 in 7x7, in 9x9, ... of 4x4 in 6x6 in 8x8 in 10x10, ... magisch vierkant ontstaat. De middelste getallen staan binnenin en in de rand staan de laagste en de hoogste getallen. Het binnenste van bijvoorbeeld een 4x4 in 6x6 in 8x8 concentrisch magisch vierkant krijg je door alle getallen van een 4x4 in 6x6 concentrisch magisch vierkant met 14 op te hogen. De truc om een rand hier om heen te leggen met de laagste en de hoogste getallen is bedacht door Harry White.

(zie website http://budshaw.ca/BorderedMagicSquares.html)

 

Zie het concentrisch magische vierkant op deze website uitgewerkt voor: 5x5, 6x6, 7x7, 8x8, 9x9, 10x10, 11x11, 12x12, 13x13, 14x14, 15x15, 16x16,  17x17, 18x18, 19x19, 20x20, 21x21, 22x22, 23x23, 24x24, 25x25, 26x26, 27x27, 28x28,  29x29, 30x30, 31x31 en 32x32

 

Methodes voor alle oneven ordes

Er zijn vier trucs die leiden tot een simpele maar wel symmetrische oplossing van het oneven magisch vierkant. De eerste twee trucs zijn al oud, de derde heb ik zelf bedacht en de vierde is van Marios Mamzeris.

 

Zie de diagonaalmethode van Yang Hui uitgewerkt voor:

3x3, 5x5, 7x7, 9x9, 11x11, 13x13, 15x15, 17x17, 19x19, 21x21, 23x23, 25x25, 27x27,  29x29 en 31x31 

 

Zie de Siamese methode uitgewerkt voor:

3x3, 5x5, 7x7, 9x9, 11x11, 13x13, 15x15, 17x17, 19x19, 21x21, 23x23, 25x25, 27x27,  29x29 en 31x31 

 

Zie de paardensprong methode uitgewerkt voor:

3x3, 5x5, 7x7, 9x9, 11x11, 13x13, 15x15, 17x17, 19x19, 21x21, 23x23, 25x25, 27x27,  29x29 en 31x31 

 

Zie symmetrische transformatie uitgewerkt voor:

3x3, 5x5, 7x7, 9x9, 11x11, 13x13, 15x15, 17x17, 19x19, 21x21, 23x23, 25x25, 27x27, 29x29 en 31x31

 

Het kan nog magischer. Gebruik de Lozenge methode van John Horton Conway en het resultaat is niet alleen symmetrisch, maar alle oneven getallen liggen binnen het diamant en alle even getallen buiten het diamant. Zie de Lozenge methode uitgewerkt voor 3x3, 5x5, 7x7, 9x9, 11x11, 13x13, 15x15, 17x17, 19x19, 21x21, 23x23, 25x25, 27x27, 29x29, 31x31

 

Methodes voor alle oneven ordes vanaf 5x5

Voor het 3x3 magisch vierkant is het meest magische resultaat simpel en symmetrisch. Vanaf het 5x5 magisch vierkant is een panmagisch resultaat mogelijk.

 

Zie de shiftmethode uitgewerkt voor 5x5, 7x7, 9x9 (1), 9x9 (2), 11x11, 13x13, 15x15 (1), 15x15 (2), 17x17, 19x19, 21x21 (1), 21x21 (2), 23x23, 25x25, 27x27 (1), 27x27 (2), 29x29 en 31x31

 

Ik heb een techniek ontwikkeld om (enkelvoudige) inlegvierkanten te maken (waarbij in de rand niet alle hoogste en laagste getallen zijn terug te vinden, dus waarbij een andere oplossing wordt gevonden dan het maken van de rand voor concentrisch magische vierkanten). Deze techniek werkt ook voor (even) ordes die een veelvoud van 4 zijn vanaf 8x8.

 

Zie de methode voor inlegvierkanten (2) uitgewerkt voor

5x5, 7x7, 9x9, 11x11, 13x13, 15x15, 17x17, 19x19, 21x21, 23x23, 25x25, 27x27, 29x29 en 31x31 

 

Methodes voor orde is priemgetal vanaf 5x5

De meest magische oplossing voor grootte is priemgetal vanaf 5x5 is panmagisch en symmetrisch (= ultramagisch).

 

Zie methode ultra magisch (priemgetal) uitgewerkt voor

5x5, 7x7, 11x11, 13x13, 17x17, 19x19, 23x23, 29x29 en 31x31 

 

Methode voor orde is oneven kwadraat

Ordes 9 (3x3), 25 (5x5), 49 (7x7), ... zijn oneven kwadraten. Je krijg hiervoor de meest magische oplossing door twee patronen te gebruiken met daarin het 3x3, 5x5, respec-tievelijk 7x7 magisch vierkant. In het ene patroon wordt het 3x3/5x5/7x7 magisch vierkant horizontaal verschoven en in het andere patroon verticaal verschoven. Het resultaat is panmagisch, 3x3/5x5/7x7 compact, symmetrisch en kloppend voor 1/3, 1/5 respectievelijk 1/7 rijen/kolommen en voor 1/5 respectievelijk 1/7 diagonalen (N.B.: niet voor 1/3 diagonalen).

 

Zie methode ultramagisch (oneven kwadraat) uitgewerkt voor

9x9 en 25x25

 

Zie methode bimagisch om een bimagisch vierkant van orde 25 te krijgen, die panmagisch, kloppend voor 1/5 rij/kolom/diagonaal en kloppend op minimale eigenschappen voor de kwadraten is.

25x25  

 

Methode voor orde is priemgetal A x priemgetal B

Met priemgetal A x priemgetal B bedoel ik ordes 15 (3x5), 21 (3x7), 33 (3x11) en 35 (5x7). Voor deze ordes krijg je de meest magische oplossing met behulp van het magische (3x5, 3x7, 3x11, respectievelijk 5x7) rechthoek. Het eerste patroon bestaat uit het rechthoek (15x, 21x, 33x respectievelijk 35x) horizontaal en het tweede patroon bestaat uit het rechthoek verticaal. Het resultaat is panmagisch, symmetrisch en dubbel (3x3/5x5, 3x3/7x7, 3x3/11x11 respectievelijk  5x5/7x7) compact

 

Zie methode ultramagisch (priemgetal A x priemgetal B) uitgewerkt voor

15x15, 21x21, 33x33 en 35x35

 

Methode voor orde is 3 tot de macht oneven

Met 3 tot de macht oneven, bedoel ik ordes 27 (3x3x3), 243 (3x3x3x3x3), ...

Het is mij gelukt om de meest magische oplossing voor orde 27 te krijgen door de eigenschappen van het ultra magische 9x9 vierkant door te zetten naar het 27x27 magisch vierkant. Het ultramagisch 27x27 vierkant is panmagisch, symmetrisch, 3x3 compact en kloppend voor 1/9 rij/kolom en 1/3 diagonaal.

 

Zie methode ultramagisch (3 tot de macht oneven) uitgewerkt voor

27x27

 

Methode voor orde is 9

Orde 9 is een aparte grootte. Je kunt het 9x9 magische vierkant maken met behulp van 4 ternaire patronen (met de getallen 0, 1 en 2 erin). De mogelijkheden zijn zo groot, dat nog niet duidelijk is hoeveel oplossingsmogelijkheden er nu eigenlijk zijn.

 

Zie methode met ternaire patronen uitgewerkt voor

9x9 (1), 9x9 (2), 9x9 (3), 9x9 (4) en 9x9 (5)

 

Methode voor orde is even vanaf 6x6

Er is (naast het concentrisch magisch vierkant dat voor alle ordes werkt), maar één methode die werkt voor alle even magische vierkanten vanaf 6x6 tot oneindig en dat is de medjig methode van Willem Barink. Deze methode leidt tot simpele oplossingen.

 

Zie de medjig methode uitgewerkt voor

6x6, 8x8, 10x10, 12x12, 14x14, 16x16, 18x18, 20x20, 22x22, 24x24, 26x26, 28x28, 30x30  en 32x32 

 

Methodes voor orde is dubbel oneven

Voor orde is dubbel oneven zijn geen panmagische en/of symmetrische oplossingen mogelijk. Bekende oplossingsmethodes zijn de methode van Strachey en de LUX methode (dat is een strakkere variant van de medjig methode) van  John Horton Conway. daarnaast zijn er nog de methode met reflecterende patronen (1) gebruikt voor het maken van het 6x6 Agrippa magisch vierkant en reflecterende patronen (2) die op de website van Grogono (bron: http://www.grogono.com/magic/6x6.php) is te zien. Ten slotte heb ik zelf nog een alternatieve methode van Strachey ontwikkeld, waarbij minder getallen omgewisseld hoeven te worden om het magisch vierkant kloppend te krijgen. 

 

Zie de methode van Strachey uitgewerkt voor

6x6, 10x10, 14x14, 18x18, 22x22, 26x26 en 30x30

 

Zie de LUX methode uitgewerkt voor

6x6, 10x10, 14x14, 18x18, 22x22, 26x26 en 30x30

 

Zie de methode met reflecterende patronen (1) uitgewerkt voor

voor 6x6, 10x10, 14x14, 18x18, 22x22, 26x26 en 30x30

 

Zie de methode met reflecterende patronen (2) uitgewerkt voor

voor 6x6, 10x10, 14x14, 18x18, 22x22, 26x26 en 30x30

 

Zie de alternatieve methode van Strachey uitgewerkt voor

voor 6x6, 10x10, 14x14, 18x18, 22x22, 26x26 en 30x30

 

Er wordt wel de suggestie gewekt dat met orde is dubbel oneven geen bijzonder resultaat kan worden verkregen (hoewel ik onder het laatste kopje interessante samengestelde vierkanten van order 18 en 30 presenteer). Maar wat dacht je van meervoudige inlegvierkanten.

 

Zie methode van meervoudige inlegvierkanten uitgewerkt voor

14x14 en 22x22

 

Methodes voor orde is veelvoud van 4

Er is één methode om symmetrische magische vierkanten voor orde is veelvoud van 4 te maken en dat is via symmetrische transformatie. Paulus Gerdes introduceerde deze methode als het Liki magisch vierkant (zie http://plus.maths.org/content/ new-designs-africa). Ik heb de methode verder ontwikkeld zodat voor order 8, 16 en 32 een panmagisch, symmetrisch en 2x2 compact (= ultramagisch) resultaat wordt verkregen.

 

Zie de transformatiemethode (symmetrisch) uitgewerkt voor

4x4, 8x8, 12x12, 16x16, 20x20, 24x24, 28x28, 32x32 

 

Er zijn twee methodes om een meest perfect magisch vierkant te maken van 4x4 tot oneindig. De basissleutel methode (meest perfect) is heel even beroemd geweest in Nederland vanwege het 12x12 HSA magisch vierkant, gemaakt door studenten van Arnold van den Essen (zie beroemde magische vierkanten). De methode is echter een paar jaar eerder (in 2004) gepubliceerd op de website van Donald Morris (zie website http://www.bestfranklinsquares.com/mcm2). De basissleutel is een 2 x n [n = veelvoud van 4] magische rechthoek. Het ene patroon bestaat uit n/2 x de magische rechthoek horizontaal en het andere patroon bestaat uit n/2 x de magische rechthoek verticaal.

 

Zie de basissleutel (meest perfect) uitgewerkt voor

4x4, 8x8, 12x12, 16x16, 20x20, 24x24, 28x28 en 32x32  

 

Daarnaast is er de transformatiemethode (meest perfect). Het idee hiervoor vond ik op de website van Harvey Heinz, deels uitgewerkt voor de drie basis 4x4 panmagische vierkanten. Ik heb de methode verder uitgewerkt, zodat de methode gebruikt kan worden voor orde is veelvoud van 4 vanaf 4x4 tot oneindig.

 

Zie de transformatiemethode (meest perfect) uitgewerkt voor

4x4, 8x8, 12x12, 16x16, 20x20, 24x24, 28x28 en 32x32

 

Methode voor orde is veelvoud van 4 vanaf 8x8 

Je kunt voor orde is veelvoud van 4 vanaf 8x8 de basissleutel ook gebruiken om ultramagische vierkanten te maken door symmetrie in de magische rechthoek aan te brengen. 

 

Zie de basissleutelmethode (ultramagisch) uitgewerkt voor

8x8, 12x12, 16x16, 20x20, 24x24, 28x28 en 32x32

 

Er zijn - buiten de basissleutelmethode - eigenlijk geen bekende methodes om meest perfecte magisch vierkanten voor orde is veelvoud van 4 (vanaf 8x8) te maken. Toch heb ik zelf drie methodes bedacht. Zie ten eerste de Khajuraho methode, die ik heb dooront-wikkeld tot de efficiëntere Basispatroon methode (2); zie bij methode voor order 8 en 16. Bij basispatroon methode (1) gebruik je drie patronen om een meest perfect magisch vierkant te maken, waarbij het eerste patroon uit 2x2, 3x3, 4x4, ... keer het panmagisch 4x4 vierkant (of het 8x8 of 16x16 meest perfecte magische vierkant) bestaat. Met Sudoku methode (2) gebruik je twee patronen, waarbij het eerste patroon  uit 2x2, 3x3, 4x4, ...  een 4x4 Sudokupatroon bestaat en dat geeft weer andere oplossingen dan de basispatroonmethode.

 

Zie de Khajuraho methode uitgewerkt voor

voor 8x8, 12x12, 16x16, 20x20, 24x24, 28x28 en 32x32

 

Zie basispatroonmethode (1) uitgewerkt voor

8x8, 12x12, 16x16 (1a), 16x16 (1b), 16x16 (1c), 20x20, 24x24 (1a), 24x24 (1b), 28x28, 32x32 (1a), 32x32 (1b), 32x32 (1c) en 32x32 (1d)

 

N.B.: Indien je basispatroon (1) iets anders toepast, dan krijg je het perfecte magische vierkant.

 

Zie Sudokumethode (2) uitgewerkt voor

voor 8x8, 12x12, 16x16, 20x20, 24x24, 28x28 en 32x32

 

Ik heb ook een methode bedacht om magische inlegvierkanten te maken, die werkt voor orde is veelvoud van 4 vanaf 8x8 (en voor oneven magische vierkanten vanaf 5x5).

 

Zie methode voor inlegvierkanten (2) uitgewerkt voor

8x8, 12x12, 16x16, 20x20, 24x24, 28x28 en 32x32 

 

Methodes voor orde is 2 tot de macht n vanaf 8x8

Met orde is 2 tot de macht n vanaf 8x8 bedoel ik orde 8 (2x2x2), 16 (2x2x2x2), 32 (2x2x2x2x2), ... Ik heb twee methodes bedacht die tot meest perfecte resultaten leiden. Sudokumethode (1) is meer een analyse dan een methode, waarbij het meest perfecte magische vierkant wordt ontleed in patronen met 4x4 Sudoku's. Sudokumethode (3) is een spectaculaire methode, waarbij je in 9 stappen van één 4x4 Sudoku een 1024x1024 meest perfect magisch vierkant kunt maken door telkens het resultaat te verdubbelen.

 

Zie Sudokumethode (1) uitgewerkt voor

voor 4x4, 8x8, 16x16, 32x32

 

Zie Sudokumethode (3) uitgewerkt voor

8x8, 16x16, en 32x32

 

Methode voor orde 4 en 8

Ik heb het panmagisch 4x4 vierkant en het meest perfect 8x8 magische vierkant ontleed in binaire patronen. Met behulp van de binaire patronen kun je alle mogelijke oplossingen maken.

 

Zie binaire patronen uitgewerkt voor

4x4 en 8x8 

 

Methode voor orde 8 en 16

Vanuit de Khajuraho methode heb ik basispatroonmethode (2) ontwikkeld, te gebruiken om een meest perfect 8x8 of 16x16 magisch vierkant te maken. Bij deze methode bestaat het eerste patroon uit een in tweeën gesplitst panmagisch 4x4 vierkant. 

 

Zie basispatroonmethode (2) uitgewerkt voor

8x8 en 16x16

 

Methode voor orde 8

Ik heb geanalyseerd in hoeverre het mogelijk is om van een 4x4 magisch vierkant een panmagisch, symmetrisch en 2x2 compact (= ultramagisch) 8x8 magisch vierkant te maken.

 

Zie methode ultramagisch (orde 8) uitgewerkt voor

8x8

 

Het blijft de vraag hoe Franklin zijn 8x8 magisch vierkant heeft gemaakt. Ik heb een poging gewaagd via transformatie, waarbij ik de transformatie verder heb doorgezet om uiteindelijk een meest perfect resultaat te bereiken.

 

Zie Franklin transformatie uitgewerkt voor

8x8

 

Zowel Willem Barink en ik hebben het meest perfecte 8x8 magische vierkant tot in detail geanalyseerd. Willem Barink heeft alle rij- en kolompatronen in kaart gebracht. Ik heb ontdekt op welke wijze het panmagisch 4x4 vierkant in het meest perfecte 8x8 magische vierkant is verwerkt.

 

Zie de kwadrantmethode van Willem Barink

 

Zie analyse 4x4/sudoku van mijzelf

 

Methode voor orde 16

Ik heb nog een andere variant gevonden die ik basispatroonmethode (3) noem en waarmee een meest perfect 16x16 magisch vierkant gemaakt kan worden. Het eerste patroon bestaat uit 16x het panmagisch 4x4 vierkant en het tweede patroon bestaat uit 16x een verschoven versie van het panmagisch 4x4 vierkant.

 

Zie basispatroonmethode (3) uitgewerkt voor

16x16 

 

Methodes voor samengestelde magische vierkanten

Samengestelde magische vierkanten zijn eigenlijk alleen bekend via een simpele methode. Veel minder bekend is de methode voor het samengestelde magische vierkant van Royal Vale Heath, die hij in 1938 publiceerde in "Scripta Mathematica". Hierbij kun je door dezelfde getallen (1 of meer) uit de deelvierkanten samen te voegen kleinere (onzuivere) panmagische vierkanten maken. ik heb deze methode Matroesjka genoemd. Daarnaast heb ik een methode bedacht die tot simpele magische vierkanten leidt, die als extra magische eigenschap hebben dat elk willekeurig gekozen AxB rechthoek (horizontaal of verticaal georiënteerd) binnen het magische vierkant de magische som oplevert. Met samengesteld, proportioneel (1) kun je hoogwaardige (vaak meest perfecte) resultaten krijgen. samengesteld, proportioneel (2) leidt tot meervoudige inlegvierkanten.

 

Zie methode samengesteld Simpel uitgewerkt voor

9x9, 12x12, 15x15a, 15x15b, 18x18, 20x20, 21x21a, 21x21b, 24x24a, 24x24b, 25x25,  27x27a, 27x27b, 28x28, 30x30a en 30x30b

 

Zie methode samengesteld, AxB compact uitgewerkt voor

12x12, 15x15, 20x20, 21x21, 24x24, 28x28, 30x30a en 30x30b

 

Zie methode samengesteld, Matroesjka uitgewerkt voor

12x12, 16x16, 20x20, 24x24a, 24x24b, 28x28, 32x32a en 32x32b

 

Zie methode samengesteld, Proportioneel (1) uitgewerkt voor

8x8, 9x9, 12x12a, 12x12b, 15x15a, 15x15b, 16x16a, 16x16b, 18x18, 20x20a, 20x20b, 21x21a, 21x21b, 24x24a, 24x24b, 24x24c, 27x27a, 27x27b, 28x28a, 28x28b, 30x30a, 30x30b, 32x32a, 32x32b, 32x32c

 

Zie methode samengesteld Proportioneel (2) uitgewerkt voor

12x12, 18x18, 24x24, 30x30a en 30x30b