16x16 magic square

Composite, Proportional (1) a

 

René Chrétien had noticed the 15x15 composite (4) magic square and showed me it is possible to use the method to construct magic squares of even orders as well.

 

Construct the 16x16 magic square by using 4 proportional 8x8 Franklin pan-magic squares. The squares are proportional because all 4 Franklin panmagic 8x8 squares have the same magic sum of (1/2 x 2056 = ) 1028. We use the basic key method (8x8) to produce the Franklin panmagic 8x8 squares.  As row coordinates don't use 0 up to 7 but use 0 up to (4x8 -/- 1 = ) 31 instead. Take care that the sum of the row coordinates in each 8x8 square is the same  (0+7+31+24+8+15+23+16 = 1+6+30+25+9+14+22+17 = 2+5+29+26+10+13+21+18 = 3+4+28+27+11+12+20+19 = 124) to get proportional squares.

 

 

1x row coordinate                            +32x column coordinate + 1    =  Franklin panmagic 8x8 square

0 7 31 24 8 15 23 16   0 7 0 7 0 7 0 7   1 232 32 249 9 240 24 241
31 24 0 7 23 16 8 15   1 6 1 6 1 6 1 6   64 217 33 200 56 209 41 208
0 7 31 24 8 15 23 16   7 0 7 0 7 0 7 0   225 8 256 25 233 16 248 17
31 24 0 7 23 16 8 15   6 1 6 1 6 1 6 1   224 57 193 40 216 49 201 48
0 7 31 24 8 15 23 16   2 5 2 5 2 5 2 5   65 168 96 185 73 176 88 177
31 24 0 7 23 16 8 15   3 4 3 4 3 4 3 4   128 153 97 136 120 145 105 144
0 7 31 24 8 15 23 16   5 2 5 2 5 2 5 2   161 72 192 89 169 80 184 81
31 24 0 7 23 16 8 15   4 3 4 3 4 3 4 3   160 121 129 104 152 113 137 112
                                                   
1 6 30 25 9 14 22 17   0 7 0 7 0 7 0 7   2 231 31 250 10 239 23 242
30 25 1 6 22 17 9 14   1 6 1 6 1 6 1 6   63 218 34 199 55 210 42 207
1 6 30 25 9 14 22 17   7 0 7 0 7 0 7 0   226 7 255 26 234 15 247 18
30 25 1 6 22 17 9 14   6 1 6 1 6 1 6 1   223 58 194 39 215 50 202 47
1 6 30 25 9 14 22 17   2 5 2 5 2 5 2 5   66 167 95 186 74 175 87 178
30 25 1 6 22 17 9 14   3 4 3 4 3 4 3 4   127 154 98 135 119 146 106 143
1 6 30 25 9 14 22 17   5 2 5 2 5 2 5 2   162 71 191 90 170 79 183 82
30 25 1 6 22 17 9 14   4 3 4 3 4 3 4 3   159 122 130 103 151 114 138 111
                                                   
2 5 29 26 10 13 21 18   0 7 0 7 0 7 0 7   3 230 30 251 11 238 22 243
29 26 2 5 21 18 10 13   1 6 1 6 1 6 1 6   62 219 35 198 54 211 43 206
2 5 29 26 10 13 21 18   7 0 7 0 7 0 7 0   227 6 254 27 235 14 246 19
29 26 2 5 21 18 10 13   6 1 6 1 6 1 6 1   222 59 195 38 214 51 203 46
2 5 29 26 10 13 21 18   2 5 2 5 2 5 2 5   67 166 94 187 75 174 86 179
29 26 2 5 21 18 10 13   3 4 3 4 3 4 3 4   126 155 99 134 118 147 107 142
2 5 29 26 10 13 21 18   5 2 5 2 5 2 5 2   163 70 190 91 171 78 182 83
29 26 2 5 21 18 10 13   4 3 4 3 4 3 4 3   158 123 131 102 150 115 139 110
                                                   
3 4 28 27 11 12 20 19   0 7 0 7 0 7 0 7   4 229 29 252 12 237 21 244
28 27 3 4 20 19 11 12   1 6 1 6 1 6 1 6   61 220 36 197 53 212 44 205
3 4 28 27 11 12 20 19   7 0 7 0 7 0 7 0   228 5 253 28 236 13 245 20
28 27 3 4 20 19 11 12   6 1 6 1 6 1 6 1   221 60 196 37 213 52 204 45
3 4 28 27 11 12 20 19   2 5 2 5 2 5 2 5   68 165 93 188 76 173 85 180
28 27 3 4 20 19 11 12   3 4 3 4 3 4 3 4   125 156 100 133 117 148 108 141
3 4 28 27 11 12 20 19   5 2 5 2 5 2 5 2   164 69 189 92 172 77 181 84
28 27 3 4 20 19 11 12   4 3 4 3 4 3 4 3   157 124 132 101 149 116 140 109

 

 

Put the 4 Franklin panmagic 8x8 squares in sequence together.

 

 

16x16 magic square

1 232 32 249 9 240 24 241 2 231 31 250 10 239 23 242
64 217 33 200 56 209 41 208 63 218 34 199 55 210 42 207
225 8 256 25 233 16 248 17 226 7 255 26 234 15 247 18
224 57 193 40 216 49 201 48 223 58 194 39 215 50 202 47
65 168 96 185 73 176 88 177 66 167 95 186 74 175 87 178
128 153 97 136 120 145 105 144 127 154 98 135 119 146 106 143
161 72 192 89 169 80 184 81 162 71 191 90 170 79 183 82
160 121 129 104 152 113 137 112 159 122 130 103 151 114 138 111
3 230 30 251 11 238 22 243 4 229 29 252 12 237 21 244
62 219 35 198 54 211 43 206 61 220 36 197 53 212 44 205
227 6 254 27 235 14 246 19 228 5 253 28 236 13 245 20
222 59 195 38 214 51 203 46 221 60 196 37 213 52 204 45
67 166 94 187 75 174 86 179 68 165 93 188 76 173 85 180
126 155 99 134 118 147 107 142 125 156 100 133 117 148 108 141
163 70 190 91 171 78 182 83 164 69 189 92 172 77 181 84
158 123 131 102 150 115 139 110 157 124 132 101 149 116 140 109

 

 

The 16x16 magic square is not fully 2x2 compact. Use the Khajuraho method to swap numbers.

 

 

Franklin panmagic 16x16 square

3 230 32 249 11 238 24 241 4 229 31 250 12 237 23 242
62 219 33 200 54 211 41 208 61 220 34 199 53 212 42 207
225 8 254 27 233 16 246 19 226 7 253 28 234 15 245 20
224 57 195 38 216 49 203 46 223 58 196 37 215 50 204 45
67 166 96 185 75 174 88 177 68 165 95 186 76 173 87 178
126 155 97 136 118 147 105 144 125 156 98 135 117 148 106 143
161 72 190 91 169 80 182 83 162 71 189 92 170 79 181 84
160 121 131 102 152 113 139 110 159 122 132 101 151 114 140 109
1 232 30 251 9 240 22 243 2 231 29 252 10 239 21 244
64 217 35 198 56 209 43 206 63 218 36 197 55 210 44 205
227 6 256 25 235 14 248 17 228 5 255 26 236 13 247 18
222 59 193 40 214 51 201 48 221 60 194 39 213 52 202 47
65 168 94 187 73 176 86 179 66 167 93 188 74 175 85 180
128 153 99 134 120 145 107 142 127 154 100 133 119 146 108 141
163 70 192 89 171 78 184 81 164 69 191 90 172 77 183 82
158 123 129 104 150 115 137 112 157 124 130 103 149 116 138 111

 

 

This 16x16 magic square is panmagic, (fully) 2x2 compact and each 1/4 row/column/diagonal gives 1/4 of the magic sum.

 

 

I have used composite method, proportional (1) to construct

 

8x8, 9x9, 12x12a, 12x12b, 15x15a, 15x15b, 16x16a, 16x16b, 18x18, 20x20a, 20x20b,  21x21a, 21x21b, 24x24a, 24x24b, 24x24c, 27x27a, 27x27b, 28x28a, 28x28b, 30x30a,  30x30b,32x32a, 32x32b and 32x32c

 

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16x16, Composite, Prop. (1) a.xls
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