Symmetric transformation (Liki)

Paulus Gerdes introduced the Liki magic square (see http://plus.maths.org/content/new-designs-africa). He showed that it is possible to transform a square with consecutive digits into a magic square by swapping half of the numbers symmetrically. You can use this method to construct magic squares which are a multiple of 4 (= 4x4, 8x8, 12x12, 16x16, ... magic square).

Paulus Gerdes constructed the following symmetric 8x8 magic square:

8x8 square with consecutive numbers

		232	240	248	256	264	272	280	288
	260									260
36		1	2	3	4	5	6	7	8
100		9	10	11	12	13	14	15	16
164		17	18	19	20	21	22	23	24
228		25	26	27	28	29	30	31	32
292		33	34	35	36	37	38	39	40
356		41	42	43	44	45	46	47	48
420		49	50	51	52	53	54	55	56
484		57	58	59	60	61	62	63	64

Symmetric 8x8 magic square

		260	260	260	260	260	260	260	260
	260									260
260		1	63	3	61	60	6	58	8
260		56	55	11	12	13	14	50	49
260		17	18	46	45	44	43	23	24
260		40	26	38	28	29	35	31	33
260		32	34	30	36	37	27	39	25
260		41	42	22	21	20	19	47	48
260		16	15	51	52	53	54	10	9
260		57	7	59	5	4	62	2	64

I used Paulus' method to construct a symmetric 16x16 magic square:

		1936	1952	1968	1984	2000	2016	2032	2048	2064	2080	2096	2112	2128	2144	2160	2176
	2056																	2056
136		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
392		17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32
648		33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48
904		49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60	61	62	63	64
1160		65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
1416		81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96
1672		97	98	99	100	101	102	103	104	105	106	107	108	109	110	111	112
1928		113	114	115	116	117	118	119	120	121	122	123	124	125	126	127	128
2184		129	130	131	132	133	134	135	136	137	138	139	140	141	142	143	144
2440		145	146	147	148	149	150	151	152	153	154	155	156	157	158	159	160
2696		161	162	163	164	165	166	167	168	169	170	171	172	173	174	175	176
2952		177	178	179	180	181	182	183	184	185	186	187	188	189	190	191	192
3208		193	194	195	196	197	198	199	200	201	202	203	204	205	206	207	208
3464		209	210	211	212	213	214	215	216	217	218	219	220	221	222	223	224
3720		225	226	227	228	229	230	231	232	233	234	235	236	237	238	239	240
3976		241	242	243	244	245	246	247	248	249	250	251	252	253	254	255	256


		2056	2056	2056	2056	2056	2056	2056	2056	2056	2056	2056	2056	2056	2056	2056	2056
	2056																	2056
2056		256	255	3	253	5	6	7	249	248	10	11	12	244	14	242	241
2056		17	18	19	20	236	235	234	233	232	231	230	229	29	30	31	32
2056		224	223	222	221	37	38	39	40	41	42	43	44	212	211	210	209
2056		208	207	206	205	53	54	55	56	57	58	59	60	196	195	194	193
2056		65	66	67	68	188	187	186	185	184	183	182	181	77	78	79	80
2056		176	175	174	84	172	86	87	88	89	90	91	165	93	163	162	161
2056		97	98	99	100	156	155	154	153	152	151	150	149	109	110	111	112
2056		113	114	142	141	117	139	138	120	121	135	134	124	132	131	127	128
2056		129	130	126	125	133	123	122	136	137	119	118	140	116	115	143	144
2056		145	146	147	148	108	107	106	105	104	103	102	101	157	158	159	160
2056		96	95	94	164	92	166	167	168	169	170	171	85	173	83	82	81
2056		177	178	179	180	76	75	74	73	72	71	70	69	189	190	191	192
2056		64	63	62	61	197	198	199	200	201	202	203	204	52	51	50	49
2056		48	47	46	45	213	214	215	216	217	218	219	220	36	35	34	33
2056		225	226	227	228	28	27	26	25	24	23	22	21	237	238	239	240
2056		16	15	243	13	245	246	247	9	8	250	251	252	4	254	2	1

Though it is a beautiful 16x16 magic square, it is only a simple, symmetric 16x16 magic square. If you swap the numbers in the same cells of each 4x4 sub-square, you get a magic 16x16 square with more magic features:

16x16 square with consecutive numbers

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32
33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48
49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60	61	62	63	64
65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96
97	98	99	100	101	102	103	104	105	106	107	108	109	110	111	112
113	114	115	116	117	118	119	120	121	122	123	124	125	126	127	128
129	130	131	132	133	134	135	136	137	138	139	140	141	142	143	144
145	146	147	148	149	150	151	152	153	154	155	156	157	158	159	160
161	162	163	164	165	166	167	168	169	170	171	172	173	174	175	176
177	178	179	180	181	182	183	184	185	186	187	188	189	190	191	192
193	194	195	196	197	198	199	200	201	202	203	204	205	206	207	208
209	210	211	212	213	214	215	216	217	218	219	220	221	222	223	224
225	226	227	228	229	230	231	232	233	234	235	236	237	238	239	240
241	242	243	244	245	246	247	248	249	250	251	252	253	254	255	256

Symmetric 16x16 magic square

1	255	254	4	5	251	250	8	9	247	246	12	13	243	242	16
240	18	19	237	236	22	23	233	232	26	27	229	228	30	31	225
224	34	35	221	220	38	39	217	216	42	43	213	212	46	47	209
49	207	206	52	53	203	202	56	57	199	198	60	61	195	194	64
65	191	190	68	69	187	186	72	73	183	182	76	77	179	178	80
176	82	83	173	172	86	87	169	168	90	91	165	164	94	95	161
160	98	99	157	156	102	103	153	152	106	107	149	148	110	111	145
113	143	142	116	117	139	138	120	121	135	134	124	125	131	130	128
129	127	126	132	133	123	122	136	137	119	118	140	141	115	114	144
112	146	147	109	108	150	151	105	104	154	155	101	100	158	159	97
96	162	163	93	92	166	167	89	88	170	171	85	84	174	175	81
177	79	78	180	181	75	74	184	185	71	70	188	189	67	66	192
193	63	62	196	197	59	58	200	201	55	54	204	205	51	50	208
48	210	211	45	44	214	215	41	40	218	219	37	36	222	223	33
32	226	227	29	28	230	231	25	24	234	235	21	20	238	239	17
241	15	14	244	245	11	10	248	249	7	6	252	253	3	2	256

This 16x16 magic square is not only symmetric, but each 1/4 row/column gives 1/4 of the magic sum.

But we can do better. If you refine the starting position of the consecutive numbers, you can get an ultra magic 16x16 square:

Starting position 16x16 magic square

1	2	6	5	10	9	13	14	17	18	22	21	26	25	29	30
3	4	8	7	12	11	15	16	19	20	24	23	28	27	31	32
35	36	40	39	44	43	47	48	51	52	56	55	60	59	63	64
33	34	38	37	42	41	45	46	49	50	54	53	58	57	61	62
67	68	72	71	76	75	79	80	83	84	88	87	92	91	95	96
65	66	70	69	74	73	77	78	81	82	86	85	90	89	93	94
97	98	102	101	106	105	109	110	113	114	118	117	122	121	125	126
99	100	104	103	108	107	111	112	115	116	120	119	124	123	127	128
129	130	134	133	138	137	141	142	145	146	150	149	154	153	157	158
131	132	136	135	140	139	143	144	147	148	152	151	156	155	159	160
163	164	168	167	172	171	175	176	179	180	184	183	188	187	191	192
161	162	166	165	170	169	173	174	177	178	182	181	186	185	189	190
195	196	200	199	204	203	207	208	211	212	216	215	220	219	223	224
193	194	198	197	202	201	205	206	209	210	214	213	218	217	221	222
225	226	230	229	234	233	237	238	241	242	246	245	250	249	253	254
227	228	232	231	236	235	239	240	243	244	248	247	252	251	255	256

Ultra magic 16x16 square

1	255	6	252	10	248	13	243	17	239	22	236	26	232	29	227
254	4	249	7	245	11	242	16	238	20	233	23	229	27	226	32
35	221	40	218	44	214	47	209	51	205	56	202	60	198	63	193
224	34	219	37	215	41	212	46	208	50	203	53	199	57	196	62
67	189	72	186	76	182	79	177	83	173	88	170	92	166	95	161
192	66	187	69	183	73	180	78	176	82	171	85	167	89	164	94
97	159	102	156	106	152	109	147	113	143	118	140	122	136	125	131
158	100	153	103	149	107	146	112	142	116	137	119	133	123	130	128
129	127	134	124	138	120	141	115	145	111	150	108	154	104	157	99
126	132	121	135	117	139	114	144	110	148	105	151	101	155	98	160
163	93	168	90	172	86	175	81	179	77	184	74	188	70	191	65
96	162	91	165	87	169	84	174	80	178	75	181	71	185	68	190
195	61	200	58	204	54	207	49	211	45	216	42	220	38	223	33
64	194	59	197	55	201	52	206	48	210	43	213	39	217	36	222
225	31	230	28	234	24	237	19	241	15	246	12	250	8	253	3
30	228	25	231	21	235	18	240	14	244	9	247	5	251	2	256

This magic square is panmagic, symmetric, 2x2 compact and each 1/4 row/column gives 1/4 of the magic sum.

Use this method to construct magic squares of order is multiple of 4 from 4x4 to infinity. See 4x4, 8x8, 12x12, 16x16, 20x20, 24x24, 28x28, 32x32

16x16, Symmetric transformation (Liki).x

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16x16 magic square