18x18 magic square

Composite, Proportional (1)

 

René Chrétien had noticed the 15x15 composite (4) magic square and showed me it is possible to use the method to construct magic squares of even orders as well.

 

Construct the 18x18 magic square by using 9 proportional 6x6 magic squares. The squares are proportional because all 9 magic 6x6 squares have the same magic sum of (1/3 x 2925 = ) 975. We use the method with reflecting grids (6x6) to produce the magic 6x6 squares.  As row coordinates don't use 0 up to 5 but use 0 up to (9x6 -/- 1 = ) 53 instead. Take care that the sum of the row coordinates in each 6x6 square is the same  (0+17+35+18+36+53 = 1+16+34+19+37+52 = ... = 8+9+27+26+44+45 = 159) to get proportional squares.

 

 

1x row coordinate                             +54x column coordinate + 1     =     magic 6x6 square

0 17 35 18 36 53   0 5 0 5 5 0   1 288 36 289 307 54
53 17 18 35 36 0   1 1 4 4 1 4   108 72 235 252 91 217
0 36 18 35 17 53   3 2 2 2 3 3   163 145 127 144 180 216
53 36 18 35 17 0   2 3 3 3 2 2   162 199 181 198 126 109
53 17 35 18 36 0   4 4 1 1 4 1   270 234 90 73 253 55
0 36 35 18 17 53   5 0 5 0 0 5   271 37 306 19 18 324
                                       
1 16 34 19 37 52   0 5 0 5 5 0   2 287 35 290 308 53
52 16 19 34 37 1   1 1 4 4 1 4   107 71 236 251 92 218
1 37 19 34 16 52   3 2 2 2 3 3   164 146 128 143 179 215
52 37 19 34 16 1   2 3 3 3 2 2   161 200 182 197 125 110
52 16 34 19 37 1   4 4 1 1 4 1   269 233 89 74 254 56
1 37 34 19 16 52   5 0 5 0 0 5   272 38 305 20 17 323
                                       
2 15 33 20 38 51   0 5 0 5 5 0   3 286 34 291 309 52
51 15 20 33 38 2   1 1 4 4 1 4   106 70 237 250 93 219
2 38 20 33 15 51   3 2 2 2 3 3   165 147 129 142 178 214
51 38 20 33 15 2   2 3 3 3 2 2   160 201 183 196 124 111
51 15 33 20 38 2   4 4 1 1 4 1   268 232 88 75 255 57
2 38 33 20 15 51   5 0 5 0 0 5   273 39 304 21 16 322
                                       
3 14 32 21 39 50   0 5 0 5 5 0   4 285 33 292 310 51
50 14 21 32 39 3   1 1 4 4 1 4   105 69 238 249 94 220
3 39 21 32 14 50   3 2 2 2 3 3   166 148 130 141 177 213
50 39 21 32 14 3   2 3 3 3 2 2   159 202 184 195 123 112
50 14 32 21 39 3   4 4 1 1 4 1   267 231 87 76 256 58
3 39 32 21 14 50   5 0 5 0 0 5   274 40 303 22 15 321
                                       
4 13 31 22 40 49   0 5 0 5 5 0   5 284 32 293 311 50
49 13 22 31 40 4   1 1 4 4 1 4   104 68 239 248 95 221
4 40 22 31 13 49   3 2 2 2 3 3   167 149 131 140 176 212
49 40 22 31 13 4   2 3 3 3 2 2   158 203 185 194 122 113
49 13 31 22 40 4   4 4 1 1 4 1   266 230 86 77 257 59
4 40 31 22 13 49   5 0 5 0 0 5   275 41 302 23 14 320
                                       
5 12 30 23 41 48   0 5 0 5 5 0   6 283 31 294 312 49
48 12 23 30 41 5   1 1 4 4 1 4   103 67 240 247 96 222
5 41 23 30 12 48   3 2 2 2 3 3   168 150 132 139 175 211
48 41 23 30 12 5   2 3 3 3 2 2   157 204 186 193 121 114
48 12 30 23 41 5   4 4 1 1 4 1   265 229 85 78 258 60
5 41 30 23 12 48   5 0 5 0 0 5   276 42 301 24 13 319
                                       
6 11 29 24 42 47   0 5 0 5 5 0   7 282 30 295 313 48
47 11 24 29 42 6   1 1 4 4 1 4   102 66 241 246 97 223
6 42 24 29 11 47   3 2 2 2 3 3   169 151 133 138 174 210
47 42 24 29 11 6   2 3 3 3 2 2   156 205 187 192 120 115
47 11 29 24 42 6   4 4 1 1 4 1   264 228 84 79 259 61
6 42 29 24 11 47   5 0 5 0 0 5   277 43 300 25 12 318
                                       
7 10 28 25 43 46   0 5 0 5 5 0   8 281 29 296 314 47
46 10 25 28 43 7   1 1 4 4 1 4   101 65 242 245 98 224
7 43 25 28 10 46   3 2 2 2 3 3   170 152 134 137 173 209
46 43 25 28 10 7   2 3 3 3 2 2   155 206 188 191 119 116
46 10 28 25 43 7   4 4 1 1 4 1   263 227 83 80 260 62
7 43 28 25 10 46   5 0 5 0 0 5   278 44 299 26 11 317
                                       
8 9 27 26 44 45   0 5 0 5 5 0   9 280 28 297 315 46
45 9 26 27 44 8   1 1 4 4 1 4   100 64 243 244 99 225
8 44 26 27 9 45   3 2 2 2 3 3   171 153 135 136 172 208
45 44 26 27 9 8   2 3 3 3 2 2   154 207 189 190 118 117
45 9 27 26 44 8   4 4 1 1 4 1   262 226 82 81 261 63
8 44 27 26 9 45   5 0 5 0 0 5   279 45 298 27 10 316

 

 

Put the 9 magic 6x6 squares in sequence together.

 

 

18x18 magic square

1 288 36 289 307 54 2 287 35 290 308 53 3 286 34 291 309 52
108 72 235 252 91 217 107 71 236 251 92 218 106 70 237 250 93 219
163 145 127 144 180 216 164 146 128 143 179 215 165 147 129 142 178 214
162 199 181 198 126 109 161 200 182 197 125 110 160 201 183 196 124 111
270 234 90 73 253 55 269 233 89 74 254 56 268 232 88 75 255 57
271 37 306 19 18 324 272 38 305 20 17 323 273 39 304 21 16 322
4 285 33 292 310 51 5 284 32 293 311 50 6 283 31 294 312 49
105 69 238 249 94 220 104 68 239 248 95 221 103 67 240 247 96 222
166 148 130 141 177 213 167 149 131 140 176 212 168 150 132 139 175 211
159 202 184 195 123 112 158 203 185 194 122 113 157 204 186 193 121 114
267 231 87 76 256 58 266 230 86 77 257 59 265 229 85 78 258 60
274 40 303 22 15 321 275 41 302 23 14 320 276 42 301 24 13 319
7 282 30 295 313 48 8 281 29 296 314 47 9 280 28 297 315 46
102 66 241 246 97 223 101 65 242 245 98 224 100 64 243 244 99 225
169 151 133 138 174 210 170 152 134 137 173 209 171 153 135 136 172 208
156 205 187 192 120 115 155 206 188 191 119 116 154 207 189 190 118 117
264 228 84 79 259 61 263 227 83 80 260 62 262 226 82 81 261 63
277 43 300 25 12 318 278 44 299 26 11 317 279 45 298 27 10 316

 

 

Each 1/3 row/column/diagonal gives 1/3 of the magic sum and the 18x18 magic square is 6x6 compact.  All numbers are in sequence in the 18x18 magic square if you look forwards and backwards in the 6x6 sub-squares (= a double odd pure magic square with a regular structure).

 

 

I have used composite method, proportional (1) to construct

8x8, 9x9, 12x12a, 12x12b, 15x15a, 15x15b, 16x16a, 16x16b, 18x18, 20x20a, 20x20b,  21x21a, 21x21b, 24x24a, 24x24b, 24x24c, 27x27a, 27x27b, 28x28a, 28x28b, 30x30a,  30x30b,32x32a, 32x32b and 32x32c

 

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