It is possible to use the shift method to get a more tight structure of the panmagic 21x21 square.

 

You have to puzzle to get the first row. Construct a 3x7 = 7x3 matrix:

 

 

Matrix 3x7                    =         Matrix 7x3 

1	19	13		33			1	19	13		33
5	16	12		33			5	16	12		33
14	15	4		33			14	15	4		33
20	11	2		33			20	11	2		33
18	7	8		33			18	7	8		33
10	6	17		33			10	6	17		33
9	3	21		33			9	3	21		33
77	77	77					77	77	77

 

 

The magic sum of 1 up to 21 is 231. In the matrix the sum of each column is (7/21 x 231 =) 77 and the sum of each row is (3/21 x 231 =) 33 is. Put the numbers in the first row:

 

 

 First row according to 3x7 matrix

1

17

11

5

21

7

14

13

6

20

12

3

18

4

19

10

2

16

9

8

15

 

 

First row according to matrix 7x3

1

17

11

5

21

7

14

13

6

20

12

3

18

4

19

10

2

16

9

8

15

 

 

Construct row 2 up to 21 of the first grid by shifting the first row each time ([3+7]/2 =) 5 places to the left. The second grid is a reflection (= rotated by a quarter and mirrored) of the first grid.

 

 

Take 21x [number -/- 1]) from first grid

1	17	11	5	21	7	14	13	6	20	12	3	18	4	19	10	2	16	9	8	15
7	14	13	6	20	12	3	18	4	19	10	2	16	9	8	15	1	17	11	5	21
12	3	18	4	19	10	2	16	9	8	15	1	17	11	5	21	7	14	13	6	20
10	2	16	9	8	15	1	17	11	5	21	7	14	13	6	20	12	3	18	4	19
15	1	17	11	5	21	7	14	13	6	20	12	3	18	4	19	10	2	16	9	8
21	7	14	13	6	20	12	3	18	4	19	10	2	16	9	8	15	1	17	11	5
20	12	3	18	4	19	10	2	16	9	8	15	1	17	11	5	21	7	14	13	6
19	10	2	16	9	8	15	1	17	11	5	21	7	14	13	6	20	12	3	18	4
8	15	1	17	11	5	21	7	14	13	6	20	12	3	18	4	19	10	2	16	9
5	21	7	14	13	6	20	12	3	18	4	19	10	2	16	9	8	15	1	17	11
6	20	12	3	18	4	19	10	2	16	9	8	15	1	17	11	5	21	7	14	13
4	19	10	2	16	9	8	15	1	17	11	5	21	7	14	13	6	20	12	3	18
9	8	15	1	17	11	5	21	7	14	13	6	20	12	3	18	4	19	10	2	16
11	5	21	7	14	13	6	20	12	3	18	4	19	10	2	16	9	8	15	1	17
13	6	20	12	3	18	4	19	10	2	16	9	8	15	1	17	11	5	21	7	14
18	4	19	10	2	16	9	8	15	1	17	11	5	21	7	14	13	6	20	12	3
16	9	8	15	1	17	11	5	21	7	14	13	6	20	12	3	18	4	19	10	2
17	11	5	21	7	14	13	6	20	12	3	18	4	19	10	2	16	9	8	15	1
14	13	6	20	12	3	18	4	19	10	2	16	9	8	15	1	17	11	5	21	7
3	18	4	19	10	2	16	9	8	15	1	17	11	5	21	7	14	13	6	20	12
2	16	9	8	15	1	17	11	5	21	7	14	13	6	20	12	3	18	4	19	10

 

 

+ 1x number from second grid (= reflection of first grid) 

15	21	20	19	8	5	6	4	9	11	13	18	16	17	14	3	2	1	7	12	10
8	5	6	4	9	11	13	18	16	17	14	3	2	1	7	12	10	15	21	20	19
9	11	13	18	16	17	14	3	2	1	7	12	10	15	21	20	19	8	5	6	4
16	17	14	3	2	1	7	12	10	15	21	20	19	8	5	6	4	9	11	13	18
2	1	7	12	10	15	21	20	19	8	5	6	4	9	11	13	18	16	17	14	3
10	15	21	20	19	8	5	6	4	9	11	13	18	16	17	14	3	2	1	7	12
19	8	5	6	4	9	11	13	18	16	17	14	3	2	1	7	12	10	15	21	20
4	9	11	13	18	16	17	14	3	2	1	7	12	10	15	21	20	19	8	5	6
18	16	17	14	3	2	1	7	12	10	15	21	20	19	8	5	6	4	9	11	13
3	2	1	7	12	10	15	21	20	19	8	5	6	4	9	11	13	18	16	17	14
12	10	15	21	20	19	8	5	6	4	9	11	13	18	16	17	14	3	2	1	7
20	19	8	5	6	4	9	11	13	18	16	17	14	3	2	1	7	12	10	15	21
6	4	9	11	13	18	16	17	14	3	2	1	7	12	10	15	21	20	19	8	5
13	18	16	17	14	3	2	1	7	12	10	15	21	20	19	8	5	6	4	9	11
14	3	2	1	7	12	10	15	21	20	19	8	5	6	4	9	11	13	18	16	17
7	12	10	15	21	20	19	8	5	6	4	9	11	13	18	16	17	14	3	2	1
21	20	19	8	5	6	4	9	11	13	18	16	17	14	3	2	1	7	12	10	15
5	6	4	9	11	13	18	16	17	14	3	2	1	7	12	10	15	21	20	19	8
11	13	18	16	17	14	3	2	1	7	12	10	15	21	20	19	8	5	6	4	9
17	14	3	2	1	7	12	10	15	21	20	19	8	5	6	4	9	11	13	18	16
1	7	12	10	15	21	20	19	8	5	6	4	9	11	13	18	16	17	14	3	2

 

 

 = 21x21 panmagic square

15	357	230	103	428	131	279	256	114	410	244	60	373	80	392	192	23	316	175	159	304
134	278	258	109	408	242	55	375	79	395	203	24	317	169	154	306	10	351	231	104	439
240	53	370	81	394	206	35	318	170	148	301	12	346	225	105	440	145	281	257	111	403
205	38	329	171	149	295	7	348	220	99	441	146	292	260	110	405	235	51	368	76	396
296	1	343	222	94	435	147	293	271	113	404	237	46	366	74	391	207	37	332	182	150
430	141	294	272	124	407	236	48	361	72	389	202	39	331	185	161	297	2	337	217	96
418	239	47	363	67	387	200	34	333	184	164	308	3	338	211	91	432	136	288	273	125
382	198	32	328	186	163	311	14	339	212	85	427	138	283	267	126	419	250	50	362	69
165	310	17	350	213	86	421	133	285	262	120	420	251	61	365	68	384	193	30	326	181
87	422	127	280	264	115	414	252	62	376	71	383	195	25	324	179	160	312	16	353	224
117	409	246	63	377	82	386	194	27	319	177	158	307	18	352	227	98	423	128	274	259
83	397	197	26	321	172	156	305	13	354	226	101	434	129	275	253	112	411	241	57	378
174	151	303	11	349	228	100	437	140	276	254	106	406	243	52	372	84	398	208	29	320
223	102	436	143	287	255	107	400	238	54	367	78	399	209	40	323	173	153	298	9	347
266	108	401	232	49	369	73	393	210	41	334	176	152	300	4	345	221	97	438	142	290
364	75	388	204	42	335	187	155	299	6	340	219	95	433	144	289	269	119	402	233	43
336	188	166	302	5	342	214	93	431	139	291	268	122	413	234	44	358	70	390	199	36
341	216	88	429	137	286	270	121	416	245	45	359	64	385	201	31	330	189	167	313	8
284	265	123	415	248	56	360	65	379	196	33	325	183	168	314	19	344	215	90	424	135
59	371	66	380	190	28	327	178	162	315	20	355	218	89	426	130	282	263	118	417	247
22	322	180	157	309	21	356	229	92	425	132	277	261	116	412	249	58	374	77	381	191

 

 

Use the shift method to construct magic squares of odd order from 5x5 to infinity.

 

See 5x5, 7x7, 9x9 (1), 9x9 (2), 11x11, 13x13, 15x15 (1), 15x15 (2), 17x17, 19x19, 21x21 (1), 21x21 (2), 23x23, 25x25, 27x27 (1), 27x27 (2), 29x29 and 31x31