21x21 magic square

Symmetric transformation

 

Marios Mamzeris shows us that you can transform a odd square with sequencial numbers into a symmetric magic square in two steps (https://www.oddmagicsquares.com/):

 

 

Step 1, horizontal swap

                                             
  < 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21  
  < 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42  
  < 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63  
  < 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84  
  < 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105  
  < 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126  
  < 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147  
  < 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168  
  < 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189  
  < 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210  
  211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231  
  232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252  >
  253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273  >
  274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294  >
  295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315  >
  316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336  >
  337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357  >
  358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378  >
  379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399  >
  400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420  >
  421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441  >

 

 

  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1
  24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 22 23
  46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 43 44 45
  68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 64 65 66 67
  90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 85 86 87 88 89
  112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 106 107 108 109 110 111
  134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 127 128 129 130 131 132 133
  156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 148 149 150 151 152 153 154 155
  178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 169 170 171 172 173 174 175 176 177
  200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
  211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231
  243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242
  265 266 267 268 269 270 271 272 273 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264
  287 288 289 290 291 292 293 294 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286
  309 310 311 312 313 314 315 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308
  331 332 333 334 335 336 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330
  353 354 355 356 357 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352
  375 376 377 378 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374
  397 398 399 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396
  419 420 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418
  441 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440

 

 

Step 2, vertical swap

 

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^                      
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1
24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 22 23
46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 43 44 45
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 64 65 66 67
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 85 86 87 88 89
112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 106 107 108 109 110 111
134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 127 128 129 130 131 132 133
156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 148 149 150 151 152 153 154 155
178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 169 170 171 172 173 174 175 176 177
200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231
243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242
265 266 267 268 269 270 271 272 273 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264
287 288 289 290 291 292 293 294 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286
309 310 311 312 313 314 315 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308
331 332 333 334 335 336 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330
353 354 355 356 357 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352
375 376 377 378 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374
397 398 399 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396
419 420 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418
441 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440
                      v v v v v v v v v v

 

 

24 47 70 93 116 139 162 185 208 220 12 233 256 279 302 325 348 371 394 417 440
46 69 92 115 138 161 184 207 219 252 34 255 278 301 324 347 370 393 416 439 1
68 91 114 137 160 183 206 218 251 253 56 277 300 323 346 369 392 415 438 21 23
90 113 136 159 182 205 217 250 273 275 78 299 322 345 368 391 414 437 20 22 45
112 135 158 181 204 216 249 272 274 297 100 321 344 367 390 413 436 19 42 44 67
134 157 180 203 215 248 271 294 296 319 122 343 366 389 412 435 18 41 43 66 89
156 179 202 214 247 270 293 295 318 341 144 365 388 411 434 17 40 63 65 88 111
178 201 213 246 269 292 315 317 340 363 166 387 410 433 16 39 62 64 87 110 133
200 212 245 268 291 314 316 339 362 385 188 409 432 15 38 61 84 86 109 132 155
211 244 267 290 313 336 338 361 384 407 210 431 14 37 60 83 85 108 131 154 177
243 266 289 312 335 337 360 383 406 429 221 13 36 59 82 105 107 130 153 176 199
265 288 311 334 357 359 382 405 428 11 232 35 58 81 104 106 129 152 175 198 231
287 310 333 356 358 381 404 427 10 33 254 57 80 103 126 128 151 174 197 230 242
309 332 355 378 380 403 426 9 32 55 276 79 102 125 127 150 173 196 229 241 264
331 354 377 379 402 425 8 31 54 77 298 101 124 147 149 172 195 228 240 263 286
353 376 399 401 424 7 30 53 76 99 320 123 146 148 171 194 227 239 262 285 308
375 398 400 423 6 29 52 75 98 121 342 145 168 170 193 226 238 261 284 307 330
397 420 422 5 28 51 74 97 120 143 364 167 169 192 225 237 260 283 306 329 352
419 421 4 27 50 73 96 119 142 165 386 189 191 224 236 259 282 305 328 351 374
441 3 26 49 72 95 118 141 164 187 408 190 223 235 258 281 304 327 350 373 396
2 25 48 71 94 117 140 163 186 209 430 222 234 257 280 303 326 349 372 395 418

 

 

See 3x3, 5x5, 7x7, 9x9, 11x11, 13x13, 15x15, 17x17, 19x19, 21x21, 23x23, 25x25, 27x27,   29x29 and 31x31

 

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21x21 magic square