Symmetric transformation (Liki)

Paulus Gerdes introduced the Liki magic square (see http://plus.maths.org/content/new-designs-africa). He showed that it is possible to transform a square with consecutive numbers into a magic square by swapping half of the numbers symmetrically (= replace half of the numbers with the inverse of the numbers). You can use this method to construct magic squares which are a multiple of 4 (= 4x4, 8x8, 12x12, 16x16, ... magic square).

Paulus Gerdes constructed the following symmetric 8x8 magic square:

8x8 square with consecutive numbers

		232	240	248	256	264	272	280	288
	260									260
36		1	2	3	4	5	6	7	8
100		9	10	11	12	13	14	15	16
164		17	18	19	20	21	22	23	24
228		25	26	27	28	29	30	31	32
292		33	34	35	36	37	38	39	40
356		41	42	43	44	45	46	47	48
420		49	50	51	52	53	54	55	56
484		57	58	59	60	61	62	63	64

Symmetric 8x8 magic square

		260	260	250	260	260	260	260	260
	260									260
260		1	63	3	61	60	6	58	8
260		56	55	11	12	13	14	50	49
260		17	18	46	45	44	43	23	24
250		40	26	28	28	29	35	31	33
260		32	34	30	36	37	27	39	25
260		41	42	22	21	20	19	47	48
260		16	15	51	52	53	54	10	9
260		57	7	59	5	4	62	2	64

You can use Paulus' method also to construct a 32x32 magic square. If you swap the numbers in the same cells of each 4x4 sub-square, you get a magic 32x32 square with more magic features:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32
33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60	61	62	63	64
65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96
97	98	99	100	101	102	103	104	105	106	107	108	109	110	111	112	113	114	115	116	117	118	119	120	121	122	123	124	125	126	127	128
129	130	131	132	133	134	135	136	137	138	139	140	141	142	143	144	145	146	147	148	149	150	151	152	153	154	155	156	157	158	159	160
161	162	163	164	165	166	167	168	169	170	171	172	173	174	175	176	177	178	179	180	181	182	183	184	185	186	187	188	189	190	191	192
193	194	195	196	197	198	199	200	201	202	203	204	205	206	207	208	209	210	211	212	213	214	215	216	217	218	219	220	221	222	223	224
225	226	227	228	229	230	231	232	233	234	235	236	237	238	239	240	241	242	243	244	245	246	247	248	249	250	251	252	253	254	255	256
257	258	259	260	261	262	263	264	265	266	267	268	269	270	271	272	273	274	275	276	277	278	279	280	281	282	283	284	285	286	287	288
289	290	291	292	293	294	295	296	297	298	299	300	301	302	303	304	305	306	307	308	309	310	311	312	313	314	315	316	317	318	319	320
321	322	323	324	325	326	327	328	329	330	331	332	333	334	335	336	337	338	339	340	341	342	343	344	345	346	347	348	349	350	351	352
353	354	355	356	357	358	359	360	361	362	363	364	365	366	367	368	369	370	371	372	373	374	375	376	377	378	379	380	381	382	383	384
385	386	387	388	389	390	391	392	393	394	395	396	397	398	399	400	401	402	403	404	405	406	407	408	409	410	411	412	413	414	415	416
417	418	419	420	421	422	423	424	425	426	427	428	429	430	431	432	433	434	435	436	437	438	439	440	441	442	443	444	445	446	447	448
449	450	451	452	453	454	455	456	457	458	459	460	461	462	463	464	465	466	467	468	469	470	471	472	473	474	475	476	477	478	479	480
481	482	483	484	485	486	487	488	489	490	491	492	493	494	495	496	497	498	499	500	501	502	503	504	505	506	507	508	509	510	511	512
513	514	515	516	517	518	519	520	521	522	523	524	525	526	527	528	529	530	531	532	533	534	535	536	537	538	539	540	541	542	543	544
545	546	547	548	549	550	551	552	553	554	555	556	557	558	559	560	561	562	563	564	565	566	567	568	569	570	571	572	573	574	575	576
577	578	579	580	581	582	583	584	585	586	587	588	589	590	591	592	593	594	595	596	597	598	599	600	601	602	603	604	605	606	607	608
609	610	611	612	613	614	615	616	617	618	619	620	621	622	623	624	625	626	627	628	629	630	631	632	633	634	635	636	637	638	639	640
641	642	643	644	645	646	647	648	649	650	651	652	653	654	655	656	657	658	659	660	661	662	663	664	665	666	667	668	669	670	671	672
673	674	675	676	677	678	679	680	681	682	683	684	685	686	687	688	689	690	691	692	693	694	695	696	697	698	699	700	701	702	703	704
705	706	707	708	709	710	711	712	713	714	715	716	717	718	719	720	721	722	723	724	725	726	727	728	729	730	731	732	733	734	735	736
737	738	739	740	741	742	743	744	745	746	747	748	749	750	751	752	753	754	755	756	757	758	759	760	761	762	763	764	765	766	767	768
769	770	771	772	773	774	775	776	777	778	779	780	781	782	783	784	785	786	787	788	789	790	791	792	793	794	795	796	797	798	799	800
801	802	803	804	805	806	807	808	809	810	811	812	813	814	815	816	817	818	819	820	821	822	823	824	825	826	827	828	829	830	831	832
833	834	835	836	837	838	839	840	841	842	843	844	845	846	847	848	849	850	851	852	853	854	855	856	857	858	859	860	861	862	863	864
865	866	867	868	869	870	871	872	873	874	875	876	877	878	879	880	881	882	883	884	885	886	887	888	889	890	891	892	893	894	895	896
897	898	899	900	901	902	903	904	905	906	907	908	909	910	911	912	913	914	915	916	917	918	919	920	921	922	923	924	925	926	927	928
929	930	931	932	933	934	935	936	937	938	939	940	941	942	943	944	945	946	947	948	949	950	951	952	953	954	955	956	957	958	959	960
961	962	963	964	965	966	967	968	969	970	971	972	973	974	975	976	977	978	979	980	981	982	983	984	985	986	987	988	989	990	991	992
993	994	995	996	997	998	999	1000	1001	1002	1003	1004	1005	1006	1007	1008	1009	1010	1011	1012	1013	1014	1015	1016	1017	1018	1019	1020	1021	1022	1023	1024

1	1023	1022	4	5	1019	1018	8	9	1015	1014	12	13	1011	1010	16	17	1007	1006	20	21	1003	1002	24	25	999	998	28	29	995	994	32
992	34	35	989	988	38	39	985	984	42	43	981	980	46	47	977	976	50	51	973	972	54	55	969	968	58	59	965	964	62	63	961
960	66	67	957	956	70	71	953	952	74	75	949	948	78	79	945	944	82	83	941	940	86	87	937	936	90	91	933	932	94	95	929
97	927	926	100	101	923	922	104	105	919	918	108	109	915	914	112	113	911	910	116	117	907	906	120	121	903	902	124	125	899	898	128
129	895	894	132	133	891	890	136	137	887	886	140	141	883	882	144	145	879	878	148	149	875	874	152	153	871	870	156	157	867	866	160
864	162	163	861	860	166	167	857	856	170	171	853	852	174	175	849	848	178	179	845	844	182	183	841	840	186	187	837	836	190	191	833
832	194	195	829	828	198	199	825	824	202	203	821	820	206	207	817	816	210	211	813	812	214	215	809	808	218	219	805	804	222	223	801
225	799	798	228	229	795	794	232	233	791	790	236	237	787	786	240	241	783	782	244	245	779	778	248	249	775	774	252	253	771	770	256
257	767	766	260	261	763	762	264	265	759	758	268	269	755	754	272	273	751	750	276	277	747	746	280	281	743	742	284	285	739	738	288
736	290	291	733	732	294	295	729	728	298	299	725	724	302	303	721	720	306	307	717	716	310	311	713	712	314	315	709	708	318	319	705
704	322	323	701	700	326	327	697	696	330	331	693	692	334	335	689	688	338	339	685	684	342	343	681	680	346	347	677	676	350	351	673
353	671	670	356	357	667	666	360	361	663	662	364	365	659	658	368	369	655	654	372	373	651	650	376	377	647	646	380	381	643	642	384
385	639	638	388	389	635	634	392	393	631	630	396	397	627	626	400	401	623	622	404	405	619	618	408	409	615	614	412	413	611	610	416
608	418	419	605	604	422	423	601	600	426	427	597	596	430	431	593	592	434	435	589	588	438	439	585	584	442	443	581	580	446	447	577
576	450	451	573	572	454	455	569	568	458	459	565	564	462	463	561	560	466	467	557	556	470	471	553	552	474	475	549	548	478	479	545
481	543	542	484	485	539	538	488	489	535	534	492	493	531	530	496	497	527	526	500	501	523	522	504	505	519	518	508	509	515	514	512
513	511	510	516	517	507	506	520	521	503	502	524	525	499	498	528	529	495	494	532	533	491	490	536	537	487	486	540	541	483	482	544
480	546	547	477	476	550	551	473	472	554	555	469	468	558	559	465	464	562	563	461	460	566	567	457	456	570	571	453	452	574	575	449
448	578	579	445	444	582	583	441	440	586	587	437	436	590	591	433	432	594	595	429	428	598	599	425	424	602	603	421	420	606	607	417
609	415	414	612	613	411	410	616	617	407	406	620	621	403	402	624	625	399	398	628	629	395	394	632	633	391	390	636	637	387	386	640
641	383	382	644	645	379	378	648	649	375	374	652	653	371	370	656	657	367	366	660	661	363	362	664	665	359	358	668	669	355	354	672
352	674	675	349	348	678	679	345	344	682	683	341	340	686	687	337	336	690	691	333	332	694	695	329	328	698	699	325	324	702	703	321
320	706	707	317	316	710	711	313	312	714	715	309	308	718	719	305	304	722	723	301	300	726	727	297	296	730	731	293	292	734	735	289
737	287	286	740	741	283	282	744	745	279	278	748	749	275	274	752	753	271	270	756	757	267	266	760	761	263	262	764	765	259	258	768
769	255	254	772	773	251	250	776	777	247	246	780	781	243	242	784	785	239	238	788	789	235	234	792	793	231	230	796	797	227	226	800
224	802	803	221	220	806	807	217	216	810	811	213	212	814	815	209	208	818	819	205	204	822	823	201	200	826	827	197	196	830	831	193
192	834	835	189	188	838	839	185	184	842	843	181	180	846	847	177	176	850	851	173	172	854	855	169	168	858	859	165	164	862	863	161
865	159	158	868	869	155	154	872	873	151	150	876	877	147	146	880	881	143	142	884	885	139	138	888	889	135	134	892	893	131	130	896
897	127	126	900	901	123	122	904	905	119	118	908	909	115	114	912	913	111	110	916	917	107	106	920	921	103	102	924	925	99	98	928
96	930	931	93	92	934	935	89	88	938	939	85	84	942	943	81	80	946	947	77	76	950	951	73	72	954	955	69	68	958	959	65
64	962	963	61	60	966	967	57	56	970	971	53	52	974	975	49	48	978	979	45	44	982	983	41	40	986	987	37	36	990	991	33
993	31	30	996	997	27	26	1000	1001	23	22	1004	1005	19	18	1008	1009	15	14	1012	1013	11	10	1016	1017	7	6	1020	1021	3	2	1024

This 32x32 magic square is not only symmetric, but each 1/8 row/column gives 1/8 of the magic sum.

If you change the starting position of the 32x32 square with consecutive numbers, than you can construct an ultra magic 32x32 square:

1	2	6	5	10	9	13	14	17	18	22	21	26	25	29	30	33	34	38	37	42	41	45	46	49	50	54	53	58	57	61	62
3	4	8	7	12	11	15	16	19	20	24	23	28	27	31	32	35	36	40	39	44	43	47	48	51	52	56	55	60	59	63	64
67	68	72	71	76	75	79	80	83	84	88	87	92	91	95	96	99	100	104	103	108	107	111	112	115	116	120	119	124	123	127	128
65	66	70	69	74	73	77	78	81	82	86	85	90	89	93	94	97	98	102	101	106	105	109	110	113	114	118	117	122	121	125	126
131	132	136	135	140	139	143	144	147	148	152	151	156	155	159	160	163	164	168	167	172	171	175	176	179	180	184	183	188	187	191	192
129	130	134	133	138	137	141	142	145	146	150	149	154	153	157	158	161	162	166	165	170	169	173	174	177	178	182	181	186	185	189	190
193	194	198	197	202	201	205	206	209	210	214	213	218	217	221	222	225	226	230	229	234	233	237	238	241	242	246	245	250	249	253	254
195	196	200	199	204	203	207	208	211	212	216	215	220	219	223	224	227	228	232	231	236	235	239	240	243	244	248	247	252	251	255	256
257	258	262	261	266	265	269	270	273	274	278	277	282	281	285	286	289	290	294	293	298	297	301	302	305	306	310	309	314	313	317	318
259	260	264	263	268	267	271	272	275	276	280	279	284	283	287	288	291	292	296	295	300	299	303	304	307	308	312	311	316	315	319	320
323	324	328	327	332	331	335	336	339	340	344	343	348	347	351	352	355	356	360	359	364	363	367	368	371	372	376	375	380	379	383	384
321	322	326	325	330	329	333	334	337	338	342	341	346	345	349	350	353	354	358	357	362	361	365	366	369	370	374	373	378	377	381	382
387	388	392	391	396	395	399	400	403	404	408	407	412	411	415	416	419	420	424	423	428	427	431	432	435	436	440	439	444	443	447	448
385	386	390	389	394	393	397	398	401	402	406	405	410	409	413	414	417	418	422	421	426	425	429	430	433	434	438	437	442	441	445	446
449	450	454	453	458	457	461	462	465	466	470	469	474	473	477	478	481	482	486	485	490	489	493	494	497	498	502	501	506	505	509	510
451	452	456	455	460	459	463	464	467	468	472	471	476	475	479	480	483	484	488	487	492	491	495	496	499	500	504	503	508	507	511	512
513	514	518	517	522	521	525	526	529	530	534	533	538	537	541	542	545	546	550	549	554	553	557	558	561	562	566	565	570	569	573	574
515	516	520	519	524	523	527	528	531	532	536	535	540	539	543	544	547	548	552	551	556	555	559	560	563	564	568	567	572	571	575	576
579	580	584	583	588	587	591	592	595	596	600	599	604	603	607	608	611	612	616	615	620	619	623	624	627	628	632	631	636	635	639	640
577	578	582	581	586	585	589	590	593	594	598	597	602	601	605	606	609	610	614	613	618	617	621	622	625	626	630	629	634	633	637	638
643	644	648	647	652	651	655	656	659	660	664	663	668	667	671	672	675	676	680	679	684	683	687	688	691	692	696	695	700	699	703	704
641	642	646	645	650	649	653	654	657	658	662	661	666	665	669	670	673	674	678	677	682	681	685	686	689	690	694	693	698	697	701	702
705	706	710	709	714	713	717	718	721	722	726	725	730	729	733	734	737	738	742	741	746	745	749	750	753	754	758	757	762	761	765	766
707	708	712	711	716	715	719	720	723	724	728	727	732	731	735	736	739	740	744	743	748	747	751	752	755	756	760	759	764	763	767	768
769	770	774	773	778	777	781	782	785	786	790	789	794	793	797	798	801	802	806	805	810	809	813	814	817	818	822	821	826	825	829	830
771	772	776	775	780	779	783	784	787	788	792	791	796	795	799	800	803	804	808	807	812	811	815	816	819	820	824	823	828	827	831	832
835	836	840	839	844	843	847	848	851	852	856	855	860	859	863	864	867	868	872	871	876	875	879	880	883	884	888	887	892	891	895	896
833	834	838	837	842	841	845	846	849	850	854	853	858	857	861	862	865	866	870	869	874	873	877	878	881	882	886	885	890	889	893	894
899	900	904	903	908	907	911	912	915	916	920	919	924	923	927	928	931	932	936	935	940	939	943	944	947	948	952	951	956	955	959	960
897	898	902	901	906	905	909	910	913	914	918	917	922	921	925	926	929	930	934	933	938	937	941	942	945	946	950	949	954	953	957	958
961	962	966	965	970	969	973	974	977	978	982	981	986	985	989	990	993	994	998	997	1002	1001	1005	1006	1009	1010	1014	1013	1018	1017	1021	1022
963	964	968	967	972	971	975	976	979	980	984	983	988	987	991	992	995	996	1000	999	1004	1003	1007	1008	1011	1012	1016	1015	1020	1019	1023	1024

1	1023	6	1020	10	1016	13	1011	17	1007	22	1004	26	1000	29	995	33	991	38	988	42	984	45	979	49	975	54	972	58	968	61	963
1022	4	1017	7	1013	11	1010	16	1006	20	1001	23	997	27	994	32	990	36	985	39	981	43	978	48	974	52	969	55	965	59	962	64
67	957	72	954	76	950	79	945	83	941	88	938	92	934	95	929	99	925	104	922	108	918	111	913	115	909	120	906	124	902	127	897
960	66	955	69	951	73	948	78	944	82	939	85	935	89	932	94	928	98	923	101	919	105	916	110	912	114	907	117	903	121	900	126
131	893	136	890	140	886	143	881	147	877	152	874	156	870	159	865	163	861	168	858	172	854	175	849	179	845	184	842	188	838	191	833
896	130	891	133	887	137	884	142	880	146	875	149	871	153	868	158	864	162	859	165	855	169	852	174	848	178	843	181	839	185	836	190
193	831	198	828	202	824	205	819	209	815	214	812	218	808	221	803	225	799	230	796	234	792	237	787	241	783	246	780	250	776	253	771
830	196	825	199	821	203	818	208	814	212	809	215	805	219	802	224	798	228	793	231	789	235	786	240	782	244	777	247	773	251	770	256
257	767	262	764	266	760	269	755	273	751	278	748	282	744	285	739	289	735	294	732	298	728	301	723	305	719	310	716	314	712	317	707
766	260	761	263	757	267	754	272	750	276	745	279	741	283	738	288	734	292	729	295	725	299	722	304	718	308	713	311	709	315	706	320
323	701	328	698	332	694	335	689	339	685	344	682	348	678	351	673	355	669	360	666	364	662	367	657	371	653	376	650	380	646	383	641
704	322	699	325	695	329	692	334	688	338	683	341	679	345	676	350	672	354	667	357	663	361	660	366	656	370	651	373	647	377	644	382
387	637	392	634	396	630	399	625	403	621	408	618	412	614	415	609	419	605	424	602	428	598	431	593	435	589	440	586	444	582	447	577
640	386	635	389	631	393	628	398	624	402	619	405	615	409	612	414	608	418	603	421	599	425	596	430	592	434	587	437	583	441	580	446
449	575	454	572	458	568	461	563	465	559	470	556	474	552	477	547	481	543	486	540	490	536	493	531	497	527	502	524	506	520	509	515
574	452	569	455	565	459	562	464	558	468	553	471	549	475	546	480	542	484	537	487	533	491	530	496	526	500	521	503	517	507	514	512
513	511	518	508	522	504	525	499	529	495	534	492	538	488	541	483	545	479	550	476	554	472	557	467	561	463	566	460	570	456	573	451
510	516	505	519	501	523	498	528	494	532	489	535	485	539	482	544	478	548	473	551	469	555	466	560	462	564	457	567	453	571	450	576
579	445	584	442	588	438	591	433	595	429	600	426	604	422	607	417	611	413	616	410	620	406	623	401	627	397	632	394	636	390	639	385
448	578	443	581	439	585	436	590	432	594	427	597	423	601	420	606	416	610	411	613	407	617	404	622	400	626	395	629	391	633	388	638
643	381	648	378	652	374	655	369	659	365	664	362	668	358	671	353	675	349	680	346	684	342	687	337	691	333	696	330	700	326	703	321
384	642	379	645	375	649	372	654	368	658	363	661	359	665	356	670	352	674	347	677	343	681	340	686	336	690	331	693	327	697	324	702
705	319	710	316	714	312	717	307	721	303	726	300	730	296	733	291	737	287	742	284	746	280	749	275	753	271	758	268	762	264	765	259
318	708	313	711	309	715	306	720	302	724	297	727	293	731	290	736	286	740	281	743	277	747	274	752	270	756	265	759	261	763	258	768
769	255	774	252	778	248	781	243	785	239	790	236	794	232	797	227	801	223	806	220	810	216	813	211	817	207	822	204	826	200	829	195
254	772	249	775	245	779	242	784	238	788	233	791	229	795	226	800	222	804	217	807	213	811	210	816	206	820	201	823	197	827	194	832
835	189	840	186	844	182	847	177	851	173	856	170	860	166	863	161	867	157	872	154	876	150	879	145	883	141	888	138	892	134	895	129
192	834	187	837	183	841	180	846	176	850	171	853	167	857	164	862	160	866	155	869	151	873	148	878	144	882	139	885	135	889	132	894
899	125	904	122	908	118	911	113	915	109	920	106	924	102	927	97	931	93	936	90	940	86	943	81	947	77	952	74	956	70	959	65
128	898	123	901	119	905	116	910	112	914	107	917	103	921	100	926	96	930	91	933	87	937	84	942	80	946	75	949	71	953	68	958
961	63	966	60	970	56	973	51	977	47	982	44	986	40	989	35	993	31	998	28	1002	24	1005	19	1009	15	1014	12	1018	8	1021	3
62	964	57	967	53	971	50	976	46	980	41	983	37	987	34	992	30	996	25	999	21	1003	18	1008	14	1012	9	1015	5	1019	2	1024

This ultra magic 32x32 square is panmagic, 2x2 compact, symmetric and each 1/8 row/column gives 1/8 of the magic sum.

Use this method to construct magic squares of order is multiple of 4 from 4x4 to infinity. See 4x4, 8x8, 12x12, 16x16, 20x20, 24x24, 28x28, 32x32

32x32, Symmetric transformation (Liki).x

Microsoft Excel werkblad 380.5 KB

Download

32x32 magic square