Pantriagonaal magische 6x6x6 kubus (methode Luyendijk)
Ik heb de pantriagonale 6x6x6 magische kubus, die op de website van Jos Luyendijk (http://www.entertainmentmathematics.nl/index.html) staat, geanalyseerd.
Basis voor deze 6x6x6 magische kubus is het 3x3 magisch vierkant.
Het eerste patroon bestaat uit het 3x3 magisch vierkant en de verschoven en inverse versies hiervan. Zie in de 2e laag links bovenin een 3x3 magisch vierkant met daarnaast het inverse 3x3 magisch vierkant. In de 1e en 3e laag zijn de kolommen van de 2e laag verschoven of omgewisseld. Laag 4 t/m 6 is de inverse van laag 1 t/m 3.
Neem 1x getal uit 1e patroon
| 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | ||
| 1 | |||||||
| 30 | 1 | 8 | 6 | 9 | 2 | 4 | |
| 30 | 5 | 3 | 7 | 5 | 7 | 3 | |
| 30 | 9 | 4 | 2 | 1 | 6 | 8 | |
| 30 | 9 | 2 | 4 | 1 | 8 | 6 | |
| 30 | 5 | 7 | 3 | 5 | 3 | 7 | |
| 30 | 1 | 6 | 8 | 9 | 4 | 2 | |
| 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | ||
| 2 | |||||||
| 30 | 6 | 1 | 8 | 4 | 9 | 2 | |
| 30 | 7 | 5 | 3 | 3 | 5 | 7 | |
| 30 | 2 | 9 | 4 | 8 | 1 | 6 | |
| 30 | 4 | 9 | 2 | 6 | 1 | 8 | |
| 30 | 3 | 5 | 7 | 7 | 5 | 3 | |
| 30 | 8 | 1 | 6 | 2 | 9 | 4 | |
| 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | ||
| 3 | |||||||
| 30 | 8 | 6 | 1 | 2 | 4 | 9 | |
| 30 | 3 | 7 | 5 | 7 | 3 | 5 | |
| 30 | 4 | 2 | 9 | 6 | 8 | 1 | |
| 30 | 2 | 4 | 9 | 8 | 6 | 1 | |
| 30 | 7 | 3 | 5 | 3 | 7 | 5 | |
| 30 | 6 | 8 | 1 | 4 | 2 | 9 | |
| 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | ||
| 4=1' | |||||||
| 30 | 9 | 2 | 4 | 1 | 8 | 6 | |
| 30 | 5 | 7 | 3 | 5 | 3 | 7 | |
| 30 | 1 | 6 | 8 | 9 | 4 | 2 | |
| 30 | 1 | 8 | 6 | 9 | 2 | 4 | |
| 30 | 5 | 3 | 7 | 5 | 7 | 3 | |
| 30 | 9 | 4 | 2 | 1 | 6 | 8 | |
| 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | ||
| 5=2' | |||||||
| 30 | 4 | 9 | 2 | 6 | 1 | 8 | |
| 30 | 3 | 5 | 7 | 7 | 5 | 3 | |
| 30 | 8 | 1 | 6 | 2 | 9 | 4 | |
| 30 | 6 | 1 | 8 | 4 | 9 | 2 | |
| 30 | 7 | 5 | 3 | 3 | 5 | 7 | |
| 30 | 2 | 9 | 4 | 8 | 1 | 6 |
|
30 |
30 |
30 |
30 |
30 |
30 |
||
|
6=3' |
|||||||
|
30 |
2 |
4 |
9 |
8 |
6 |
1 |
|
|
30 |
7 |
3 |
5 |
3 |
7 |
5 |
|
|
30 |
6 |
8 |
1 |
4 |
2 |
9 |
|
|
30 |
8 |
6 |
1 |
2 |
4 |
9 |
|
|
30 |
3 |
7 |
5 |
7 |
3 |
5 |
|
|
30 |
4 |
2 |
9 |
6 |
8 |
1 |
|
Voor het 2e patroon hebben we de getallen 1 t/m (8 x 3 = ) 24 nodig, waarvan we (2 x) 4 magische 3x3 vierkanten maken met telkens 3 verschillende getallen erin. Hierbij moeten we er ten eerste voor zorgdragen dat 2 x 3 getallen telkens bij elkaar (6/2 x [1 + 24] = ) 75 is. Ten tweede moeten het 5e t/m 8e magische 3x3 vierkant de inverse getallen van het 1e t/m 4e magisch 3x3 vierkant bevatten (uit te puzzelen via onderstaande tabel).
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ||
| 24 | 23 | 22 | 21 | 20 | 19 | 18 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 | ||
| 21 | 1 | 5 | 15 | ||||||||||
| 75 | 54 | 23 | 19 | 12 | |||||||||
| 21 | 4 | 8 | 9 | ||||||||||
| 75 | 54 | 22 | 18 | 14 |
Zie dat de 1e laag van het tweede patroon de eerste 4 magische 3x3 vierkanten bevat die met behulp van bovenstaande tabel zijn gemaakt. In de 2e en 3e laag zijn de kolommen verschoven of omgewisseld. De 4e t/m 6e laag is de 1e t/m 3e laag, waarbij de 4 magische 3x3 vierkanten zijn verwisseld en zijn gevuld met de inverse getallen.
+ 9x (getal -/- 1) vanuit 2e patroon
| 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | ||
| 1 | |||||||
| 75 | 1 | 5 | 15 | 23 | 19 | 12 | |
| 75 | 5 | 15 | 1 | 19 | 12 | 23 | |
| 75 | 15 | 1 | 5 | 12 | 23 | 19 | |
| 75 | 22 | 18 | 14 | 4 | 8 | 9 | |
| 75 | 18 | 14 | 22 | 8 | 9 | 4 | |
| 75 | 14 | 22 | 18 | 9 | 4 | 8 | |
| 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | ||
| 2 | |||||||
| 75 | 5 | 15 | 1 | 19 | 12 | 23 | |
| 75 | 15 | 1 | 5 | 12 | 23 | 19 | |
| 75 | 1 | 5 | 15 | 23 | 19 | 12 | |
| 75 | 18 | 14 | 22 | 8 | 9 | 4 | |
| 75 | 14 | 22 | 18 | 9 | 4 | 8 | |
| 75 | 22 | 18 | 14 | 4 | 8 | 9 | |
| 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | ||
| 3 | |||||||
| 75 | 15 | 1 | 5 | 12 | 23 | 19 | |
| 75 | 1 | 5 | 15 | 23 | 19 | 12 | |
| 75 | 5 | 15 | 1 | 19 | 12 | 23 | |
| 75 | 14 | 22 | 18 | 9 | 4 | 8 | |
| 75 | 22 | 18 | 14 | 4 | 8 | 9 | |
| 75 | 18 | 14 | 22 | 8 | 9 | 4 | |
| 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | ||
| 4=1' | |||||||
| 75 | 21 | 17 | 16 | 3 | 7 | 11 | |
| 75 | 17 | 16 | 21 | 7 | 11 | 3 | |
| 75 | 16 | 21 | 17 | 11 | 3 | 7 | |
| 75 | 2 | 6 | 13 | 24 | 20 | 10 | |
| 75 | 6 | 13 | 2 | 20 | 10 | 24 | |
| 75 | 13 | 2 | 6 | 10 | 24 | 20 | |
| 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | ||
| 5=2' | |||||||
| 75 | 17 | 16 | 21 | 7 | 11 | 3 | |
| 75 | 16 | 21 | 17 | 11 | 3 | 7 | |
| 75 | 21 | 17 | 16 | 3 | 7 | 11 | |
| 75 | 6 | 13 | 2 | 20 | 10 | 24 | |
| 75 | 13 | 2 | 6 | 10 | 24 | 20 | |
| 75 | 2 | 6 | 13 | 24 | 20 | 10 | |
| 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | ||
| 6=3' | |||||||
| 75 | 16 | 21 | 17 | 11 | 3 | 7 | |
| 75 | 21 | 17 | 16 | 3 | 7 | 11 | |
| 75 | 17 | 16 | 21 | 7 | 11 | 3 | |
| 75 | 13 | 2 | 6 | 10 | 24 | 20 | |
| 75 | 2 | 6 | 13 | 24 | 20 | 10 | |
| 75 | 6 | 13 | 2 | 20 | 10 | 24 |
= Pantriagonale 6x6x6 magische kubus
| 1e laag | |||||
| 1 | 44 | 132 | 207 | 164 | 103 |
| 41 | 129 | 7 | 167 | 106 | 201 |
| 135 | 4 | 38 | 100 | 204 | 170 |
| 198 | 155 | 121 | 28 | 71 | 78 |
| 158 | 124 | 192 | 68 | 75 | 34 |
| 118 | 195 | 161 | 81 | 31 | 65 |
| 2e laag | |||||
| 42 | 127 | 8 | 166 | 108 | 200 |
| 133 | 5 | 39 | 102 | 203 | 169 |
| 2 | 45 | 130 | 206 | 163 | 105 |
| 157 | 126 | 191 | 69 | 73 | 35 |
| 120 | 194 | 160 | 79 | 32 | 66 |
| 197 | 154 | 123 | 29 | 72 | 76 |
| 3e laag | |||||
| 134 | 6 | 37 | 101 | 202 | 171 |
| 3 | 43 | 131 | 205 | 165 | 104 |
| 40 | 128 | 9 | 168 | 107 | 199 |
| 119 | 193 | 162 | 80 | 33 | 64 |
| 196 | 156 | 122 | 30 | 70 | 77 |
| 159 | 125 | 190 | 67 | 74 | 36 |
| 4e laag | |||||
| 189 | 146 | 139 | 19 | 62 | 96 |
| 149 | 142 | 183 | 59 | 93 | 25 |
| 136 | 186 | 152 | 99 | 22 | 56 |
| 10 | 53 | 114 | 216 | 173 | 85 |
| 50 | 111 | 16 | 176 | 88 | 210 |
| 117 | 13 | 47 | 82 | 213 | 179 |
| 5e laag | |||||
| 148 | 144 | 182 | 60 | 91 | 26 |
| 138 | 185 | 151 | 97 | 23 | 57 |
| 188 | 145 | 141 | 20 | 63 | 94 |
| 51 | 109 | 17 | 175 | 90 | 209 |
| 115 | 14 | 48 | 84 | 212 | 178 |
| 11 | 54 | 112 | 215 | 172 | 87 |
| 6e laag | |||||
| 137 | 184 | 153 | 98 | 24 | 55 |
| 187 | 147 | 140 | 21 | 61 | 95 |
| 150 | 143 | 181 | 58 | 92 | 27 |
| 116 | 15 | 46 | 83 | 211 | 180 |
| 12 | 52 | 113 | 214 | 174 | 86 |
| 49 | 110 | 18 | 177 | 89 | 208 |
Zie in de download hieronder dat de 6x6x6 magische kubus kloppend is voor de rijen/kolommen in elke laag en de pilaren en alle 144 pantriagonalen (= inclusief de 4 [hoofd]triagonalen) door de lagen heen.
Om te bewijzen dat bovenstaande analyse klopt, maken we nu een andere pantriagonale 6x6x6 magische kubus.
We gebruiken een andere 3x3 magisch vierkant als basis voor het eerste patroon.
Neem 1x getal vanuit 1e patroon
| 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | ||
| 30 | 1 | 6 | 8 | 9 | 4 | 2 | |
| 30 | 5 | 7 | 3 | 5 | 3 | 7 | |
| 30 | 9 | 2 | 4 | 1 | 8 | 6 | |
| 30 | 9 | 4 | 2 | 1 | 6 | 8 | |
| 30 | 5 | 3 | 7 | 5 | 7 | 3 | |
| 30 | 1 | 8 | 6 | 9 | 2 | 4 | |
| 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | ||
| 30 | 8 | 1 | 6 | 2 | 9 | 4 | |
| 30 | 3 | 5 | 7 | 7 | 5 | 3 | |
| 30 | 4 | 9 | 2 | 6 | 1 | 8 | |
| 30 | 2 | 9 | 4 | 8 | 1 | 6 | |
| 30 | 7 | 5 | 3 | 3 | 5 | 7 | |
| 30 | 6 | 1 | 8 | 4 | 9 | 2 | |
| 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | ||
| 30 | 6 | 8 | 1 | 4 | 2 | 9 | |
| 30 | 7 | 3 | 5 | 3 | 7 | 5 | |
| 30 | 2 | 4 | 9 | 8 | 6 | 1 | |
| 30 | 4 | 2 | 9 | 6 | 8 | 1 | |
| 30 | 3 | 7 | 5 | 7 | 3 | 5 | |
| 30 | 8 | 6 | 1 | 2 | 4 | 9 | |
| 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | ||
| 30 | 9 | 4 | 2 | 1 | 6 | 8 | |
| 30 | 5 | 3 | 7 | 5 | 7 | 3 | |
| 30 | 1 | 8 | 6 | 9 | 2 | 4 | |
| 30 | 1 | 6 | 8 | 9 | 4 | 2 | |
| 30 | 5 | 7 | 3 | 5 | 3 | 7 | |
| 30 | 9 | 2 | 4 | 1 | 8 | 6 | |
| 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | ||
| 30 | 2 | 9 | 4 | 8 | 1 | 6 | |
| 30 | 7 | 5 | 3 | 3 | 5 | 7 | |
| 30 | 6 | 1 | 8 | 4 | 9 | 2 | |
| 30 | 8 | 1 | 6 | 2 | 9 | 4 | |
| 30 | 3 | 5 | 7 | 7 | 5 | 3 | |
| 30 | 4 | 9 | 2 | 6 | 1 | 8 | |
| 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | ||
| 30 | 4 | 2 | 9 | 6 | 8 | 1 | |
| 30 | 3 | 7 | 5 | 7 | 3 | 5 | |
| 30 | 8 | 6 | 1 | 2 | 4 | 9 | |
| 30 | 6 | 8 | 1 | 4 | 2 | 9 | |
| 30 | 7 | 3 | 5 | 3 | 7 | 5 | |
| 30 | 2 | 4 | 9 | 8 | 6 | 1 |
We maken een andere kloppende tabel voor de getallen 1 t/m 24 en vullen die in in het tweede patroon.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ||
| 24 | 23 | 22 | 21 | 20 | 19 | 18 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 | ||
| 25 | 1 | 11 | 13 | ||||||||||
| 75 | 50 | 22 | 20 | 8 | |||||||||
| 25 | 2 | 7 | 16 | ||||||||||
| 75 | 50 | 21 | 19 | 10 |
+ 9x getal vanuit 2e patroon
| 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | ||
| 75 | 1 | 11 | 13 | 22 | 20 | 8 | |
| 75 | 11 | 13 | 1 | 20 | 8 | 22 | |
| 75 | 13 | 1 | 11 | 8 | 22 | 20 | |
| 75 | 21 | 19 | 10 | 2 | 7 | 16 | |
| 75 | 19 | 10 | 21 | 7 | 16 | 2 | |
| 75 | 10 | 21 | 19 | 16 | 2 | 7 | |
| 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | ||
| 75 | 11 | 13 | 1 | 20 | 8 | 22 | |
| 75 | 13 | 1 | 11 | 8 | 22 | 20 | |
| 75 | 1 | 11 | 13 | 22 | 20 | 8 | |
| 75 | 19 | 10 | 21 | 7 | 16 | 2 | |
| 75 | 10 | 21 | 19 | 16 | 2 | 7 | |
| 75 | 21 | 19 | 10 | 2 | 7 | 16 | |
| 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | ||
| 75 | 13 | 1 | 11 | 8 | 22 | 20 | |
| 75 | 1 | 11 | 13 | 22 | 20 | 8 | |
| 75 | 11 | 13 | 1 | 20 | 8 | 22 | |
| 75 | 10 | 21 | 19 | 16 | 2 | 7 | |
| 75 | 21 | 19 | 10 | 2 | 7 | 16 | |
| 75 | 19 | 10 | 21 | 7 | 16 | 2 | |
| 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | ||
| 75 | 23 | 18 | 9 | 4 | 6 | 15 | |
| 75 | 18 | 9 | 23 | 6 | 15 | 4 | |
| 75 | 9 | 23 | 18 | 15 | 4 | 6 | |
| 75 | 3 | 5 | 17 | 24 | 14 | 12 | |
| 75 | 5 | 17 | 3 | 14 | 12 | 24 | |
| 75 | 17 | 3 | 5 | 12 | 24 | 14 | |
| 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | ||
| 75 | 18 | 9 | 23 | 6 | 15 | 4 | |
| 75 | 9 | 23 | 18 | 15 | 4 | 6 | |
| 75 | 23 | 18 | 9 | 4 | 6 | 15 | |
| 75 | 5 | 17 | 3 | 14 | 12 | 24 | |
| 75 | 17 | 3 | 5 | 12 | 24 | 14 | |
| 75 | 3 | 5 | 17 | 24 | 14 | 12 | |
| 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | 75 | ||
| 75 | 9 | 23 | 18 | 15 | 4 | 6 | |
| 75 | 23 | 18 | 9 | 4 | 6 | 15 | |
| 75 | 18 | 9 | 23 | 6 | 15 | 4 | |
| 75 | 17 | 3 | 5 | 12 | 24 | 14 | |
| 75 | 3 | 5 | 17 | 24 | 14 | 12 | |
| 75 | 5 | 17 | 3 | 14 | 12 | 24 |
= pantriagonale 6x6x6 magische kubus
| 1e laag | |||||
| 1 | 96 | 116 | 198 | 175 | 65 |
| 95 | 115 | 3 | 176 | 66 | 196 |
| 117 | 2 | 94 | 64 | 197 | 177 |
| 189 | 166 | 83 | 10 | 60 | 143 |
| 167 | 84 | 187 | 59 | 142 | 12 |
| 82 | 188 | 168 | 144 | 11 | 58 |
| 2e laag | |||||
| 98 | 109 | 6 | 173 | 72 | 193 |
| 111 | 5 | 97 | 70 | 194 | 174 |
| 4 | 99 | 110 | 195 | 172 | 71 |
| 164 | 90 | 184 | 62 | 136 | 15 |
| 88 | 185 | 165 | 138 | 14 | 61 |
| 186 | 163 | 89 | 13 | 63 | 137 |
| 3e laag | |||||
| 114 | 8 | 91 | 67 | 191 | 180 |
| 7 | 93 | 113 | 192 | 178 | 68 |
| 92 | 112 | 9 | 179 | 69 | 190 |
| 85 | 182 | 171 | 141 | 17 | 55 |
| 183 | 169 | 86 | 16 | 57 | 140 |
| 170 | 87 | 181 | 56 | 139 | 18 |
| 4e laag | |||||
| 207 | 157 | 74 | 28 | 51 | 134 |
| 158 | 75 | 205 | 50 | 133 | 30 |
| 73 | 206 | 159 | 135 | 29 | 49 |
| 19 | 42 | 152 | 216 | 121 | 101 |
| 41 | 151 | 21 | 122 | 102 | 214 |
| 153 | 20 | 40 | 100 | 215 | 123 |
| 5e laag | |||||
| 155 | 81 | 202 | 53 | 127 | 33 |
| 79 | 203 | 156 | 129 | 32 | 52 |
| 204 | 154 | 80 | 31 | 54 | 128 |
| 44 | 145 | 24 | 119 | 108 | 211 |
| 147 | 23 | 43 | 106 | 212 | 120 |
| 22 | 45 | 146 | 213 | 118 | 107 |
| 6e laag | |||||
| 76 | 200 | 162 | 132 | 35 | 46 |
| 201 | 160 | 77 | 34 | 48 | 131 |
| 161 | 78 | 199 | 47 | 130 | 36 |
| 150 | 26 | 37 | 103 | 209 | 126 |
| 25 | 39 | 149 | 210 | 124 | 104 |
| 38 | 148 | 27 | 125 | 105 | 208 |
Met methode Luyendijk kun je pantriagonale magische kubussen voor grootte is dubbel oneven maken. Zie op deze website uitgewerkt voor:
6x6x6, 10x10x10, 14x14x14, 18x18x18, 22x22x22, 26x26x26 en 30x30x30