Symmetrische transformatie
Paulus Gerdes introduceerde het Liki magisch vierkant (zie http://plus.maths.org/content/ new-designs-africa). Hij toonde dat het mogelijk is om een vierkant met opeenvolgende getallen te transformeren in
een magisch vierkant door de helft van de getallen via een symmetrisch patroon om te wisselen. Deze methode werkt voor magische vierkanten die een veelvoud van 4 zijn (4x4, 8x8, 12x12, 16x16,
...).
Het 4x4 magisch vierkant bevat de getallen 1 t/m 16. Elk getal heeft een inverse getal. Het inverse getal is het hoogste getal van het
vierkant plus 1 minus het getal. Dan krijg je:
1 --> Inverse getal is 16 + 1 -/-
1 = 16
2 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 2 =
15
3 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 3 = 14
4 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 4 =
13
5 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 5 = 12
6 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 6 =
11
7 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 7 = 10
8 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 8 =
9
9 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 9 = 8
10 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 10 =
7
11 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 11 = 6
12 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 12 =
5
13 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 13 = 4
14 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 14 =
3
15 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 15 = 2
16 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 16 =
1
Transformeer het 4x4 vierkant met opeenvolgende getallen in een symmetrisch 4x4 magisch vierkant:
4x4 vierkant met opeenvolgende
getallen
|
28 |
32 |
36 |
40 |
|||
|
34 |
34 |
|||||
|
10 |
1 |
2 |
3 |
4 |
||
|
26 |
5 |
6 |
7 |
8 |
||
|
42 |
9 |
10 |
11 |
12 |
||
|
58 |
13 |
14 |
15 |
16 |
Stel
vast dat het vierkant met opeenvolgende getallen reeds symmetrisch is en dat de (hoofd)diagonalen de magische som van 34 opleveren.
Symmetrische 4x4 magisch vierkant (1)
|
34 |
34 |
34 |
34 |
|||
|
34 |
34 |
|||||
|
34 |
1 |
15 |
14 |
4 |
||
|
34 |
12 |
6 |
7 |
9 |
||
|
34 |
8 |
10 |
11 |
5 |
||
|
34 |
13 |
3 |
2 |
16 |
óf
Symmetrisch 4x4 magisch vierkant
(2)
|
34 |
34 |
34 |
34 |
|||
|
34 |
34 |
|||||
|
34 |
16 |
2 |
3 |
13 |
||
|
34 |
5 |
11 |
10 |
8 |
||
|
34 |
9 |
7 |
6 |
12 |
||
|
34 |
4 |
14 |
15 |
1 |
Deze methode werkt voor grootte (orde) is veelvoud van 4 vanaf 4x4 tot oneindig. Zie uitgewerkt voor 4x4, 8x8, 12x12, 16x16, 20x20, 24x24, 28x28, 32x32
Met slechts één extra stap kun je een 4x4 vierkant met opéénvolgende getallen omwisselen tot het beroemde vierkant van Albrecht Dürer (zie ook beroemde magische vierkanten):
Dürer’s magische vierkant:
|
28 |
32 |
36 |
40 |
28 |
36 |
32 |
40 |
34 |
34 |
34 |
34 |
|||||||||||||
|
34 |
34 |
34 |
34 |
34 |
34 |
|||||||||||||||||||
|
10 |
1 |
2 |
3 |
4 |
10 |
1 |
3 |
2 |
4 |
34 |
16 |
3 |
2 |
13 |
||||||||||
|
26 |
5 |
6 |
7 |
8 |
26 |
5 |
7 |
6 |
8 |
34 |
5 |
10 |
11 |
8 |
||||||||||
|
42 |
9 |
10 |
11 |
12 |
42 |
9 |
11 |
10 |
12 |
34 |
9 |
6 |
7 |
12 |
||||||||||
|
58 |
13 |
14 |
15 |
16 |
58 |
13 |
15 |
14 |
16 |
34 |
4 |
15 |
14 |
1 |