Ultra magisch 8x8 vierkant

Ultra magisch versus meest perfect

Ultra magisch is even magisch als meest perfect. Het ultra magisch 8x8 vierkant is evenals het meest perfect magisch vierkant panmagisch, 2x2 compact en kloppend voor 1/2 rijen/kolommen. Het ultramagisch vierkant klopt niet voor 1/2 diagonalen, maar is in plaats daarvan symmetrisch.

Mijn uitdaging was om van een 4x4 magische vierkant een ultramagisch 8x8 vierkant te maken. Zie onderstaand mijn 3 pogingen.

Ultra magisch 8x8 vierkant (1)

Zie hieronder het patroon van een semi panmagisch 4x4 vierkant (= groep 3 van de 880 mogelijke magische 4x4 vierkanten exclusief draaiingen en/of spiegelingen). Dit vierkant heeft dezelfde structuur als het beroemde Dürer vierkant.

De som per kleur is het laagste plus het hoogste getal, ofwel (voor het 8x8 vierkant): 1 + 64 = 65.

Als basis voor het 8x8 vierkant gebruik ik één 4x4 vierkant, die ik opbouw uit 4 binaire patronen, die elk de benodigde structuur (zie boven) hebben:

+1x getal + 2x getal + 4x getal + 8x getal +1 = Magisch 4x4 vk


0	0	1	1	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	0	1	1	15	8	10
1	1	0	0	0	1	1	0	1	0	0	1	1	0	1	0	14	4	11	5
1	1	0	0	1	0	0	1	0	1	1	0	1	0	1	0	12	6	13	3
0	0	1	1	1	0	0	1	1	0	0	1	0	1	0	1	7	9	2	16

Je kunt ten eerste de vier binaire patronen in willekeurige volgorde zetten (en dat geeft 4x3x2x1 is 24 mogelijkheden). Je kunt ten tweede van elk patroon de nullen en de enen wel of niet omwisselen (en dat geeft 2x2x2x2 is 16 mogelijkheden). In totaal zijn er inclusief draaiingen en/of spiegelingen (24 x 16 =) 384 semi panmagische 4x4 vierkanten (betreffende groep 3) mogelijk.

Het probleem is echter dat het 4x4 vierkant (wel semi-, maar) niet (geheel) panmagisch is. Oplossing is om in de bovenste helft van het 8x8 patroon twee maal het 4x4 vierkant naast elkaar te zetten en in de onderste helft van het 8x8 patroon twee maal het 4x4 vierkant op z'n kop gedraaid (= inverse) te plaatsen. Met behulp van het juiste Sudokupatroon maken we een ultra (pan)magisch 8x8 vierkant met alle getallen van 1 t/m 64 erin.

*1x getal uit 4x 4x4 [inverse]*
1	15	8	10	1	15	8	10
14	4	11	5	14	4	11	5
12	6	13	3	12	6	13	3
7	9	2	16	7	9	2	16
16	2	9	7	16	2	9	7
3	13	6	12	3	13	6	12
5	11	4	14	5	11	4	14
10	8	15	1	10	8	15	1


*+ 16x getal uit Sudokupatroon*
0	3	1	2	1	2	0	3
3	0	2	1	2	1	3	0
2	1	3	0	3	0	2	1
1	2	0	3	0	3	1	2
0	3	1	2	1	2	0	3
3	0	2	1	2	1	3	0
2	1	3	0	3	0	2	1
1	2	0	3	0	3	1	2


*= ultra (pan)magisch 8x8 vierkant*
1	63	24	42	17	47	8	58
62	4	43	21	46	20	59	5
44	22	61	3	60	6	45	19
23	41	2	64	7	57	18	48
16	50	25	39	32	34	9	55
51	13	38	28	35	29	54	12
37	27	52	14	53	11	36	30
26	40	15	49	10	56	31	33

Stel vast dat elk 4x4 deelvierkant hetzelfde patroon heeft als het 4x4 magisch vierkant vanuit groep 3. Het 8x8 magisch vierkant is bovendien panmagisch en halve rijen/kolommen/diagonalen leveren de helft van de magische som op. Ook de getallen uit elk 2x2 deelvierkant leveren bij elkaar opgeteld de helft van de magische som op. Het 8x8 magische vierkant is echter niet 2x2 compact, omdat niet elk willekeurig 2x2 vierkant de helft van de magische som oplevert. Het magisch 8x8 vierkant is ook symmetrisch binnen elk 4x4 deelvierkant.

Ultra magisch 8x8 vierkant (2)

We kunnen ook de structuur van onderstaand semi panmagisch 4x4 vierkant (= groep 2) nemen:

Ook dit vierkant kunnen we vanuit binaire patronen maken.

*1x getal*				*2x getal*				*4x getal*				*8x getal +1*				*Mag. 4x4 vk*
0	0	1	1	0	1	1	0	0	0	1	1	0	1	0	1	1	11	8	14
1	1	0	0	0	1	1	0	1	1	0	0	0	1	0	1	6	16	3	9
1	1	0	0	1	0	0	1	0	0	1	1	1	0	1	0	12	2	13	7
0	0	1	1	1	0	0	1	1	1	0	0	1	0	1	0	15	5	10	4

Even puzzelen voor het juiste Sudokupatroon levert op:

*1x getal uit 4x 4x4 [inverse]*
1	11	8	14	1	11	8	14
6	16	3	9	6	16	3	9
12	2	13	7	12	2	13	7
15	5	10	4	15	5	10	4
4	10	5	15	4	10	5	15
7	13	2	12	7	13	2	12
9	3	16	6	9	3	16	6
14	8	11	1	14	8	11	1


*+ 16x getal uit Sudokupatroon*
0	2	1	3	1	3	0	2
1	3	0	2	0	2	1	3
2	0	3	1	3	1	2	0
3	1	2	0	2	0	3	1
2	0	3	1	3	1	2	0
3	1	2	0	2	0	3	1
0	2	1	3	1	3	0	2
1	3	0	2	0	2	1	3


*= ultra (pan)magisch 8x8 vierkant*
1	43	24	62	17	59	8	46
22	64	3	41	6	48	19	57
44	2	61	23	60	18	45	7
63	21	42	4	47	5	58	20
36	10	53	31	52	26	37	15
55	29	34	12	39	13	50	28
9	35	32	54	25	51	16	38
30	56	11	33	14	40	27	49

Dit 8x8 magisch vierkant is de '2x2 opgeblazen' versie van het 4x4 semi panmagish vierkant van groep 2. Het 8x8 vierkant is panmagisch, klopt voor halve rijen/kolommen/diagonalen, klopt voor de 2x2 deelvierkanten, maar niet voor elk willekeurig 2x2 vierkant (het 8x8 magisch vierkant is dus niet 2x2 compact). Het magisch 8x8 vierkant is symmetrisch binnen elk 2x2 deelvierkant.

De groepen 4, 5 en 6 van het magische 4x4 vierkant zijn ook semi pandiagonaal. Puzzel zelf eens uit om hiervan ultra (pan)magische 8x8 vierkanten te maken!!!

Ultra magisch 8x8 vierkant (3)

Het vervelende van de 2 voorgaande ultra panmagische 8x8 vierkanten is, dat ze niet 2x2 compact zijn en daardoor volgens mijn strenge definitie eigenlijk niet ultra magisch zijn. Het is daarom logisch dat ik op zoek ben gegaan naar een 8x8 magisch vierkant dat panmagisch, symmetrisch en 2x2 compact (= ultra magisch) is. Enige geschikte 4x4 magische vierkant dat hiervoor als basis kan worden gebruikt is toch weer het panmagische (= meest perfecte) 4x4 vierkant (= groep 1).

Als eerste patroon nemen we links boven een panmagisch 4x4 vierkant en in de andere drie deelvierkanten een systematisch verschoven versie van het panmagische 4x4 vierkant van links boven. Als tweede patroon heb ik weer een bijpassende Sudokupatroon uitgepuzzeld.

1x getal uit [verschoven versie] panm.4x4

1	15	6	12	2	16	5	11
14	4	9	7	13	3	10	8
11	5	16	2	12	6	15	1
8	10	3	13	7	9	4	14
3	13	8	10	4	14	7	9
16	2	11	5	15	1	12	6
9	7	14	4	10	8	13	3
6	12	1	15	5	11	2	16

+ 16x getal uit Sudokupatroon

0	3	0	3	1	2	1	2
3	0	3	0	2	1	2	1
0	3	0	3	1	2	1	2
3	0	3	0	2	1	2	1
2	1	2	1	3	0	3	0
1	2	1	2	0	3	0	3
2	1	2	1	3	0	3	0
1	2	1	2	0	3	0	3

= ultra (pan)magisch 8x8 vierkant

1	63	6	60	18	48	21	43
62	4	57	7	45	19	42	24
11	53	16	50	28	38	31	33
56	10	51	13	39	25	36	30
35	29	40	26	52	14	55	9
32	34	27	37	15	49	12	54
41	23	46	20	58	8	61	3
22	44	17	47	5	59	2	64

Dit 8x8 magisch vierkant is panmagisch, symmetrisch en 2x2 compact en klopt bovendien voor halve rijen/kolommen. Zie voor een efficiëntere methode, basis sleutel methode (ultra magisch)

N.B.: Probeer bij de basis sleutel methode ook eens de onderstaande sleutel (en dan krijg je hetzelfde resultaat als ultramagisch 8x8 vierkant (2), alleen dan wel volledig 2x2 compact, maar niet kloppend voor halve rijen/kolommen/diagonalen):

1	1	4	4	6	6	7	7
8	8	5	5	3	3	2	2

1	57	4	60	6	62	7	63
8	64	5	61	3	59	2	58
25	33	28	36	30	38	31	39
32	40	29	37	27	35	26	34
41	17	44	20	46	22	47	23
48	24	45	21	43	19	42	18
49	9	52	12	54	14	55	15
56	16	53	13	51	11	50	10

Ultra magisch 8x8 vierkant (4)

En dan nog een toetje. Het is namelijk ook mogelijk een 8x8 magisch vierkant te maken kloppend voor 1/2 rijen/kolommen/diagonalen, panmagisch, niet symmetrisch en 3x3 (op de 4 hoekpunten) compact i.p.v. 2x2 compact.

We nemen net als ultra magisch (3) weer het panmagisch vierkant als basis, maar passen deze aan om het resultaat 3x3 (op de 4 hoekpunten) i.p.v. 2x2 compact te krijgen. Hiervoor wisselen we systematisch rijen en kolommen om:

1	15	6	12	1	6	15	12	1	6	15	12
14	4	9	7	14	9	4	7	11	16	5	2
11	5	16	2	11	16	5	2	14	9	4	7
8	10	3	13	8	3	10	13	8	3	10	13

Als eerste patroon nemen we links boven een 3x3 (op de 4 hoekpunten) compact 4x4 vierkant en in de andere drie deelvierkanten een systematisch verschoven versie van het 4x4 vierkant van links boven. Als tweede patroon heb ik weer een bijpassende Sudokupatroon uitgepuzzeld.

1x getal uit [verschoven versie] 3x3 compact 4x4

1	6	15	12	5	2	11	16
11	16	5	2	15	12	1	6
14	9	4	7	10	13	8	3
8	3	10	13	4	7	14	9
11	16	5	2	15	12	1	6
1	6	15	12	5	2	11	16
8	3	10	13	4	7	14	9
14	9	4	7	10	13	8	3

+ 16x getal uit Sudokupatroon

0	3	0	3	1	2	1	2
3	0	3	0	2	1	2	1
3	0	3	0	2	1	2	1
0	3	0	3	1	2	1	2
0	3	0	3	1	2	1	2
3	0	3	0	2	1	2	1
3	0	3	0	2	1	2	1
0	3	0	3	1	2	1	2

= panmagisch & 3x3 compact 8x8 vierkant

1	54	15	60	21	34	27	48
59	16	53	2	47	28	33	22
62	9	52	7	42	29	40	19
8	51	10	61	20	39	30	41
11	64	5	50	31	44	17	38
49	6	63	12	37	18	43	32
56	3	58	13	36	23	46	25
14	57	4	55	26	45	24	35

Zie onderstaand de download met alle 4 de 'ultramagische' 8x8 vierkanten met check of alle formules kloppen en alle getallen zich in het magisch vierkant bevinden.

8x8, Ultra magisch vierkant.xls

Microsoft Excel werkblad 148.0 KB

Download

8x8 magisch vierkant