12x12 magic square

Composite, Matroesjka

 

How to construct a 12x12 composite magic square?

See in "Scripta Mathematica", 1938, Royal Vale Heath how to construct a 12x12 composite magic square:

  • First grid is a 3x3 ‘blown up’ panmagic 4x4 square.
  • Second grid is 8x a 3x3 magic square (yellow marked) and 8x the same 3x3 magic square, which is turned upside down (red marked).
  • Take 1x number from first grid and add [number minus 1] x 16 from the same cell of the second grid.

 

1x number from grid with 3x3 'blown up' panmagic 4x4 square

1

1

1

8

8

8

13

13

13

12

12

12

1

1

1

8

8

8

13

13

13

12

12

12

1

1

1

8

8

8

13

13

13

12

12

12

14

14

14

11

11

11

2

2

2

7

7

7

14

14

14

11

11

11

2

2

2

7

7

7

14

14

14

11

11

11

2

2

2

7

7

7

4

4

4

5

5

5

16

16

16

9

9

9

4

4

4

5

5

5

16

16

16

9

9

9

4

4

4

5

5

5

16

16

16

9

9

9

15

15

15

10

10

10

3

3

3

6

6

6

15

15

15

10

10

10

3

3

3

6

6

6

15

15

15

10

10

10

3

3

3

6

6

6

 

 

+ [number minus 1] x 16 from grid with 3x3 (and upside down) magic square

6

1

8

4

9

2

6

1

8

4

9

2

7

5

3

3

5

7

7

5

3

3

5

7

2

9

4

8

1

6

2

9

4

8

1

6

4

9

2

6

1

8

4

9

2

6

1

8

3

5

7

7

5

3

3

5

7

7

5

3

8

1

6

2

9

4

8

1

6

2

9

4

4

9

2

6

1

8

4

9

2

6

1

8

3

5

7

7

5

3

3

5

7

7

5

3

8

1

6

2

9

4

8

1

6

2

9

4

6

1

8

4

9

2

6

1

8

4

9

2

7

5

3

3

5

7

7

5

3

3

5

7

2

9

4

8

1

6

2

9

4

8

1

6

 

 

 = panmagic 12x12 square (consisting of 16 magic 3x3 squares)

81

1

113

56

136

24

93

13

125

60

140

28

97

65

33

40

72

104

109

77

45

44

76

108

17

129

49

120

8

88

29

141

61

124

12

92

62

142

30

91

11

123

50

130

18

87

7

119

46

78

110

107

75

43

34

66

98

103

71

39

126

14

94

27

139

59

114

2

82

23

135

55

52

132

20

85

5

117

64

144

32

89

9

121

36

68

100

101

69

37

48

80

112

105

73

41

116

4

84

21

133

53

128

16

96

25

137

57

95

15

127

58

138

26

83

3

115

54

134

22

111

79

47

42

74

106

99

67

35

38

70

102

31

143

63

122

10

90

19

131

51

118

6

86

 

 

What are the special magic features of this 12x12 magic square?

(1st) The 12x12 magic square is panmagic and consists of 16 (not proportional) magic 3x3 squares;

 

(2nd) 9 (proportional) panmagic 4x4 squares are hidden in the 12x12 magic square; see below.

 

 

12x12 magic square --> 9x panmagic 4x4 square

81

1

113

56

136

24

93

13

125

60

140

28

97

65

33

40

72

104

109

77

45

44

76

108

17

129

49

120

8

88

29

141

61

124

12

92

62

142

30

91

11

123

50

130

18

87

7

119

46

78

110

107

75

43

34

66

98

103

71

39

126

14

94

27

139

59

114

2

82

23

135

55

52

132

20

85

5

117

64

144

32

89

9

121

36

68

100

101

69

37

48

80

112

105

73

41

116

4

84

21

133

53

128

16

96

25

137

57

95

15

127

58

138

26

83

3

115

54

134

22

111

79

47

42

74

106

99

67

35

38

70

102

31

143

63

122

10

90

19

131

51

118

6

86

 

 

For example, combine all yellow marked numbers.

  

 

= One of the 9 hidden panmagic 4x4 squares:

 

   

290

290

290

290

     
 

290

       

290

   

290

 

81

56

93

60

     

290

 

62

91

50

87

 

290

290

290

 

52

85

64

89

 

290

290

290

 

95

58

83

54

 

290

290

 

  

(3th) 27 (proportional) panmagic 8x8 squares are hidden in the 12x12 magic square. Combine 4x number from the same cells of each 3x3 sub-square.

 

 

 

01

       

02

       

03

 
                         
                         
                         
                         
 

04

       

05

       

06

 
                         
                         
                         
                         
 

07

       

08

       

09

 
                         
                         
                         
                         

 

10

       

11

       

12

 
                         
                         
                         
                         
 

13

       

14

       

15

 
                         
                         
                         
                         
 

16

       

17

       

18

 
                         
                         
                         
                         
 

19

       

20

       

21

 
                         
                         
                         
                         
 

22

       

23

       

24

 
                         
                         
                         
                         
 

25

       

26

       

27

 
                         
                         
                         

 

 

For example, choose 12 and you get the following 8x8 panmagic square.

 

 

= One of the 27 panmagic 8x8 squares:

 

   

580

580

580

580

580

580

580

580

     
 

580

               

580

   

580

 

81

33

56

104

93

45

60

108

     

580

 

17

49

120

88

29

61

124

92

 

580

580

580

 

62

110

91

43

50

98

87

39

 

580

580

580

 

126

94

27

59

114

82

23

55

 

580

580

580

 

52

100

85

37

64

112

89

41

 

580

580

580

 

116

84

21

53

128

96

25

57

 

580

580

580

 

95

47

58

106

83

35

54

102

 

580

580

580

 

31

63

122

90

19

51

118

86

 

580

580

 

 

Use this method to construct magic squares which are a multiple of 4 from 12x12 to infinite. See

12x12, 16x16, 20x20, 24x24a, 24x24b, 28x28, 32x32a and 32x32b

 

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