Symmetric transformation

Marios Mamzeris shows us that you can transform a odd square with sequencial numbers into a symmetric magic square in two steps (https://www.oddmagicsquares.com/):

Step 1, horizontal swap

<	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
<	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26
<	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
<	40	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52
<	53	54	55	56	57	58	59	60	61	62	63	64	65
<	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78
	79	80	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91
	92	93	94	95	96	97	98	99	100	101	102	103	104	>
	105	106	107	108	109	110	111	112	113	114	115	116	117	>
	118	119	120	121	122	123	124	125	126	127	128	129	130	>
	131	132	133	134	135	136	137	138	139	140	141	142	143	>
	144	145	146	147	148	149	150	151	152	153	154	155	156	>
	157	158	159	160	161	162	163	164	165	166	167	168	169	>

2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	1
16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	14	15
30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	27	28	29
44	45	46	47	48	49	50	51	52	40	41	42	43
58	59	60	61	62	63	64	65	53	54	55	56	57
72	73	74	75	76	77	78	66	67	68	69	70	71
79	80	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91
99	100	101	102	103	104	92	93	94	95	96	97	98
113	114	115	116	117	105	106	107	108	109	110	111	112
127	128	129	130	118	119	120	121	122	123	124	125	126
141	142	143	131	132	133	134	135	136	137	138	139	140
155	156	144	145	146	147	148	149	150	151	152	153	154
169	157	158	159	160	161	162	163	164	165	166	167	168

Step 2, vertical swap

^	^	^	^	^	^
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	1
16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	14	15
30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	27	28	29
44	45	46	47	48	49	50	51	52	40	41	42	43
58	59	60	61	62	63	64	65	53	54	55	56	57
72	73	74	75	76	77	78	66	67	68	69	70	71
79	80	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91
99	100	101	102	103	104	92	93	94	95	96	97	98
113	114	115	116	117	105	106	107	108	109	110	111	112
127	128	129	130	118	119	120	121	122	123	124	125	126
141	142	143	131	132	133	134	135	136	137	138	139	140
155	156	144	145	146	147	148	149	150	151	152	153	154
169	157	158	159	160	161	162	163	164	165	166	167	168
							v	v	v	v	v	v

16	31	46	61	76	84	8	93	108	123	138	153	168
30	45	60	75	83	104	22	107	122	137	152	167	1
44	59	74	82	103	105	36	121	136	151	166	13	15
58	73	81	102	117	119	50	135	150	165	12	14	29
72	80	101	116	118	133	64	149	164	11	26	28	43
79	100	115	130	132	147	78	163	10	25	27	42	57
99	114	129	131	146	161	85	9	24	39	41	56	71
113	128	143	145	160	7	92	23	38	40	55	70	91
127	142	144	159	6	21	106	37	52	54	69	90	98
141	156	158	5	20	35	120	51	53	68	89	97	112
155	157	4	19	34	49	134	65	67	88	96	111	126
169	3	18	33	48	63	148	66	87	95	110	125	140
2	17	32	47	62	77	162	86	94	109	124	139	154

See 3x3, 5x5, 7x7, 9x9, 11x11, 13x13, 15x15, 17x17, 19x19, 21x21, 23x23, 25x25, 27x27, 29x29 and 31x31

13x13, symmetric transformation.xlsx

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13x13 magic square