20x20 magic square

Composite, Proportional (1) a

 

René Chrétien had noticed the 15x15 composite (4) magic square and showed me it is possible to use the method to construct magic squares of even orders as well.

 

Construct the 20x20 magic square by using 4 proportional 10x10 magic squares. The squares are proportional because all 4 magic 10x10 squares have the same magic sum of (1/2 x 4010 = ) 2005. We use the method with reflecting grids (10x10) to produce the magic 10x10 squares.  As row coordinates don't use 0 up to 9 but use 0 up to (4x10 -/- 1 = ) 39 instead. Take care that the sum of the row coordinates in each 10x10 square is the same  (0+7+8+15+16+23+24+31+32+39 = 1+6+9+14+17+22+25+30+33+38 = 2+5+10+13+18+21+26+29+34+37 = 3+4+11+12+19+20+27+28+35+36 = 195) to get proportional squares.

 

 

1x row coordinate                   +40x column coordinate + 1  =  10x10 magic square

0 7 31 24 23 16 15 8 32 39   0 9 9 9 9 0 0 9 0 0   1 368 392 385 384 17 16 369 33 40
39 7 31 24 23 16 15 8 32 0   1 1 8 8 8 8 8 1 1 1   80 48 352 345 344 337 336 49 73 41
39 32 8 24 23 16 15 31 7 0   7 7 2 7 2 2 7 2 7 2   320 313 89 305 104 97 296 112 288 81
39 32 31 15 23 16 24 8 7 0   6 6 6 3 3 3 3 3 6 6   280 273 272 136 144 137 145 129 248 241
39 32 8 15 16 23 24 31 7 0   5 5 5 5 4 4 4 4 4 5   240 233 209 216 177 184 185 192 168 201
0 32 8 15 16 23 24 31 7 39   4 4 4 4 5 5 5 5 5 4   161 193 169 176 217 224 225 232 208 200
0 32 31 15 16 23 24 8 7 39   3 3 3 6 6 6 6 6 3 3   121 153 152 256 257 264 265 249 128 160
39 7 8 15 16 23 24 31 32 0   2 2 7 2 7 7 2 7 2 7   120 88 289 96 297 304 105 312 113 281
0 7 31 24 16 23 15 8 32 39   8 8 1 1 1 1 1 8 8 8   321 328 72 65 57 64 56 329 353 360
0 7 8 24 23 16 15 31 32 39   9 0 0 0 0 9 9 0 9 9   361 8 9 25 24 377 376 32 393 400
                                                               
1 6 30 25 22 17 14 9 33 38   0 9 9 9 9 0 0 9 0 0   2 367 391 386 383 18 15 370 34 39
38 6 30 25 22 17 14 9 33 1   1 1 8 8 8 8 8 1 1 1   79 47 351 346 343 338 335 50 74 42
38 33 9 25 22 17 14 30 6 1   7 7 2 7 2 2 7 2 7 2   319 314 90 306 103 98 295 111 287 82
38 33 30 14 22 17 25 9 6 1   6 6 6 3 3 3 3 3 6 6   279 274 271 135 143 138 146 130 247 242
38 33 9 14 17 22 25 30 6 1   5 5 5 5 4 4 4 4 4 5   239 234 210 215 178 183 186 191 167 202
1 33 9 14 17 22 25 30 6 38   4 4 4 4 5 5 5 5 5 4   162 194 170 175 218 223 226 231 207 199
1 33 30 14 17 22 25 9 6 38   3 3 3 6 6 6 6 6 3 3   122 154 151 255 258 263 266 250 127 159
38 6 9 14 17 22 25 30 33 1   2 2 7 2 7 7 2 7 2 7   119 87 290 95 298 303 106 311 114 282
1 6 30 25 17 22 14 9 33 38   8 8 1 1 1 1 1 8 8 8   322 327 71 66 58 63 55 330 354 359
1 6 9 25 22 17 14 30 33 38   9 0 0 0 0 9 9 0 9 9   362 7 10 26 23 378 375 31 394 399
                                                               
2 5 29 26 21 18 13 10 34 37   0 9 9 9 9 0 0 9 0 0   3 366 390 387 382 19 14 371 35 38
37 5 29 26 21 18 13 10 34 2   1 1 8 8 8 8 8 1 1 1   78 46 350 347 342 339 334 51 75 43
37 34 10 26 21 18 13 29 5 2   7 7 2 7 2 2 7 2 7 2   318 315 91 307 102 99 294 110 286 83
37 34 29 13 21 18 26 10 5 2   6 6 6 3 3 3 3 3 6 6   278 275 270 134 142 139 147 131 246 243
37 34 10 13 18 21 26 29 5 2   5 5 5 5 4 4 4 4 4 5   238 235 211 214 179 182 187 190 166 203
2 34 10 13 18 21 26 29 5 37   4 4 4 4 5 5 5 5 5 4   163 195 171 174 219 222 227 230 206 198
2 34 29 13 18 21 26 10 5 37   3 3 3 6 6 6 6 6 3 3   123 155 150 254 259 262 267 251 126 158
37 5 10 13 18 21 26 29 34 2   2 2 7 2 7 7 2 7 2 7   118 86 291 94 299 302 107 310 115 283
2 5 29 26 18 21 13 10 34 37   8 8 1 1 1 1 1 8 8 8   323 326 70 67 59 62 54 331 355 358
2 5 10 26 21 18 13 29 34 37   9 0 0 0 0 9 9 0 9 9   363 6 11 27 22 379 374 30 395 398
                                                               
3 4 28 27 20 19 12 11 35 36   0 9 9 9 9 0 0 9 0 0   4 365 389 388 381 20 13 372 36 37
36 4 28 27 20 19 12 11 35 3   1 1 8 8 8 8 8 1 1 1   77 45 349 348 341 340 333 52 76 44
36 35 11 27 20 19 12 28 4 3   7 7 2 7 2 2 7 2 7 2   317 316 92 308 101 100 293 109 285 84
36 35 28 12 20 19 27 11 4 3   6 6 6 3 3 3 3 3 6 6   277 276 269 133 141 140 148 132 245 244
36 35 11 12 19 20 27 28 4 3   5 5 5 5 4 4 4 4 4 5   237 236 212 213 180 181 188 189 165 204
3 35 11 12 19 20 27 28 4 36   4 4 4 4 5 5 5 5 5 4   164 196 172 173 220 221 228 229 205 197
3 35 28 12 19 20 27 11 4 36   3 3 3 6 6 6 6 6 3 3   124 156 149 253 260 261 268 252 125 157
36 4 11 12 19 20 27 28 35 3   2 2 7 2 7 7 2 7 2 7   117 85 292 93 300 301 108 309 116 284
3 4 28 27 19 20 12 11 35 36   8 8 1 1 1 1 1 8 8 8   324 325 69 68 60 61 53 332 356 357
3 4 11 27 20 19 12 28 35 36   9 0 0 0 0 9 9 0 9 9   364 5 12 28 21 380 373 29 396 397

 

 

Put the 4 magic 10x10 sub-squares together.

 

 

20x20 magic square

1 368 392 385 384 17 16 369 33 40 2 367 391 386 383 18 15 370 34 39
80 48 352 345 344 337 336 49 73 41 79 47 351 346 343 338 335 50 74 42
320 313 89 305 104 97 296 112 288 81 319 314 90 306 103 98 295 111 287 82
280 273 272 136 144 137 145 129 248 241 279 274 271 135 143 138 146 130 247 242
240 233 209 216 177 184 185 192 168 201 239 234 210 215 178 183 186 191 167 202
161 193 169 176 217 224 225 232 208 200 162 194 170 175 218 223 226 231 207 199
121 153 152 256 257 264 265 249 128 160 122 154 151 255 258 263 266 250 127 159
120 88 289 96 297 304 105 312 113 281 119 87 290 95 298 303 106 311 114 282
321 328 72 65 57 64 56 329 353 360 322 327 71 66 58 63 55 330 354 359
361 8 9 25 24 377 376 32 393 400 362 7 10 26 23 378 375 31 394 399
3 366 390 387 382 19 14 371 35 38 4 365 389 388 381 20 13 372 36 37
78 46 350 347 342 339 334 51 75 43 77 45 349 348 341 340 333 52 76 44
318 315 91 307 102 99 294 110 286 83 317 316 92 308 101 100 293 109 285 84
278 275 270 134 142 139 147 131 246 243 277 276 269 133 141 140 148 132 245 244
238 235 211 214 179 182 187 190 166 203 237 236 212 213 180 181 188 189 165 204
163 195 171 174 219 222 227 230 206 198 164 196 172 173 220 221 228 229 205 197
123 155 150 254 259 262 267 251 126 158 124 156 149 253 260 261 268 252 125 157
118 86 291 94 299 302 107 310 115 283 117 85 292 93 300 301 108 309 116 284
323 326 70 67 59 62 54 331 355 358 324 325 69 68 60 61 53 332 356 357
363 6 11 27 22 379 374 30 395 398 364 5 12 28 21 380 373 29 396 397

 

 

Each 1/2 row/column/diagonal gives 1/2 of the magic sum and the 20x20 magic square is 10x10 compact. All the numbers are in sequence in the 20x20 magic square, starting in the 10x10 sub-square top left, going right/down and backwards.

 

 

I have used composite method, proportional (1) to construct

8x8, 9x9, 12x12a, 12x12b, 15x15a, 15x15b, 16x16a, 16x16b, 18x18, 20x20a, 20x20b,  21x21a, 21x21b, 24x24a, 24x24b, 24x24c, 27x27a, 27x27b, 28x28a, 28x28b, 30x30a,  30x30b,32x32a, 32x32b and 32x32c

 

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20x20 magic square